( 394 ) 



algemeen natuurlijk niet bestaat, evenmin als in een der andere figuren. 



Zet men vervolgens de vervorming voort in denzelfden zin, zoodat 

 thans de beide ombilikaalpunten onbestaanbaar uiteengaan, dan schijnt 

 daaruit eene figuur te moeten ontstaan zooals wordt voorgesteld 

 door fig. 6. 



Van een eigenlijken overgang van de eerste soort tot de tweede 

 op een zich vloeiend vervormend puntalgemeen oppervlak is in elk 

 geval geen sprake. Wat gebeurt wanneer de betrekking K x == hare 

 vervulling te gemoet gaat, bestaat daarin dat twee ombilikaalpunten 

 van verschillend soort elkander naderen, om na de samen valling van 

 het oppervlak te verdwijnen. 



b. Het dubbelpunt van een puntalgemeen oppervlak 

 ah twaalfvoudig ombilikaalpunt. 



6. Bij aanwezigheid van een dubbelpunt kan de vergelijking van 

 het oppervlak in de nabijheid daarvan niet in de gedaante gebracht 

 worden door verg. (1) aangegeven. Na geschikte keuze der assen 

 kan men echter uitgaan van : 



a*» + ty»-H* , + n t + n 4 + .... = o . . . . (8) 



of na de geringe vervorming, van : 



« + ft* + te + ft* + ^ + H 2 + ^ + .... = o . . (9) 



Het blijkt dan spoedig, dat ter bepaling in eerste benadering van 

 de ombilikaalpunten welke ontstaan in de nabijheid der plaats waar 

 zich vroeger het dubbelpunt bevond, de termen van den tweeden 

 graad volstaan. Het oppervlak mag dus daar ter plaatse als een 

 tweedegraads-oppervlak behandeld worden waardoor onmiddellijk het 

 gedrag der ombilikaalpunten duidelijk wordt. Heeft men namelijk 

 met een geïsoleerd punt te doen, ontstaan door de samentrekking 

 van een blad dat daarna verdwijnt, dan verdwijnen daarmede tevens 

 vier op dat blad gelegen bestaanbare ombilikaalpunten x ) terwijl acht 

 anderen onbestaanbaar waren en worden. Is het dubbelpunt een 

 kegelpunt dan treden bij het losmaken der beide bladen van elkander 

 vier bestaanbare ombilikaalpunten 2 ) op, die bij het aanknoopen on- 

 bestaanbaar worden, terwijl wederom acht andere evenzeer een 

 oogenblik in het kegelpunt samenkomen, maar vooraf en daarna 

 onbestaanbaar zijn. Bij een onbestaanbaar dubbelpunt blijven natuurlijk 



1 ) Deze zijn aanvankelijk van de derde soort. Zij kunnen echter bij verdere ver- 

 vorming geleidelijk in dezulke van de tweede soort overgaan zonder tot hét optreden 

 van een dubbelombilikaalpunt aanleiding te geven. 



2 ) Ook van deze geldt liet in de vorige noot opgemerkte. 



