( 395 ) 



alle twaalf ombilikaalpunten, die er een oogenblik samenkomen, 

 onbestaanbaar. 



. De ombilikaalpunten in het oneindige. Algemeene beschouwing. 



7. Van de plooipnnten en vele andere bijzondere punten onder- 

 scheiden zich de ombilikaalpunten door de omstandigheid, dat zij niet 

 tegen projectieve vervorming bestand zijn. De oorzaak daarvan is, 

 dat zij tot het vlak in het oneindige en in het bijzonder tot de bol- 

 punten in dat vlak in eene bijzondere relatie staan. Dit noodzaakt 

 tot eene afzonderlijke beschouwing van de gevallen van de eerste 

 orde van uitzondering waarin ombilikaalpunten het oneindige bereiken. 

 Het was a priori niet onwaarschijnlijk dat dit gepaard zoude gaan, 

 in alle of in sommige van die gevallen, met het optreden van meer- 

 voudigheid, zooals ook inderdaad voor sommige het geval bleek 

 te zijn. 



De methode van onderzoek welke daarbij werd gevolgd was deze : 

 dat eerst de ombilikaalpunten werden vervangen door een meer 

 algemeen soort bijzondere punten welke wèl voor projectieve ver- 

 vorming vatbaar zijn. Daartoe volstaat het op te merken, dat een 

 ombilikaalpunt kan worden gedefinieerd als een zoodanig punt van 

 een gegeven oppervlak, dat, indien men het beschouwt als dubbel- 

 punt zijner raakvlakdoorsnede, de eigenschap heeft, dat de beide 

 dubbelpuntsraaklijnen door de cirkelpunten van het raakvlak gaan. 



Na toepassing der algemeene projectieve vervorming wordt dan 

 het vraagstuk der ombilikaalpunten van het oorspronkelijke opper- 

 vlak teruggebracht tot het volgende: Gegeven een oppervlak w, een 

 plat Hak a en in dat platte vlak een kegelsnede s; vrage op liet opper- 

 vlak w de punten Q te bepalen, die de eigenschap hebben dat, na aan- 

 brenging van hun raakvlak q, de beide raaklijnen in <2 aan de raak- 

 vlakdoorsnede respectievelijk de punten A 1 en A^ bevatten ivaavin s 

 door $ gesneden wordt. 



Bij dit meer algemeene vraagstuk is het vlak a in plaats van 

 het vlak in het oneindige getreden en komt het er slechts op aan 

 de punten <2 te bestudeeren die, als bijzonderheden der eerste orde, 

 in de doorsnede d van 52 met « kunnen optreden, hetwelk nu 

 wederom geschieden kan door een geschikt assenstelsel te kiezen 

 met zulk een punt tot oorsprong, voor dit assenstelsel de benaderde 

 vergelijking van het oppervlak op te maken en vervolgens eene 

 kleine deformatie aan te wenden. De zoo verkregen resultaten kunnen 

 onmiddellijk op ombilikaalpunten worden toegepast. 



Op deze wijze bleek dat ombilikaalpunten op vier verschillende 



