( 396 )) 



wijzen in het oneindige als punten van de eerste orde van uitzon- 

 dering kunnen optreden, welke wij achtereenvolgens in het kort 

 beschrijven zullen. 



c. Het raakpunt van een puntaïgemeen oppervlak met het vlak 

 in het oneindige als viervoudig ombïlikaalpunt. 



8. Het is duidelijk dat zoo vaak het oppervlak to het vlak a raakt 

 zulk een raakpunt als een 52-punt moet worden opgevat, immers 

 zijne raaklijnen in de raakvlakdoorsnede zullen de kegelsnede s in 

 het vlak a stellig ontmoeten. Door het oppervlak als een tweed e- 

 graaclsoppervlak op te vatten kan men alsdan, door tot het vraagstuk 

 der ombilikaalpunten terug te keeren, ook zonder rekening uitmaken, 

 dat het beschouwde punt een viervoudig i2-punt is. Tevens volgt 

 dan uit het bekende gedrag der tweedegraad soppervlakken, dat bij 

 bestaanbare aanraking met het vlak in het oneindige het raak- 

 punt, indien het in de raakvlakdoorsnede als geïsoleerd punt optreedt, 

 zich bij vervorming in ' twee bestaanbare en twee onbestaanbare 

 ombilikaalpunten splitst, in welke richting de vervorming ook geschiede. 

 In het tegengestelde geval heeft men met vier onbestaanbare ombili- 

 kaalpunten te doen. Overgang van bestaanbaarheid naar onbestaan- 

 baarheid heeft hier derhalve nimmer plaats. 



d. Het raakpunt van een puntaïgemeen oppervlak met de lijn 

 der bolpunten in liet oneindige als dubhel-omhïlikaalpunt. 



9. Dat bij raking van ao met s, het raakpunt een i2-punt is, 

 spreekt van zelve, immers de punten A l en A 2 vallen dan met dit 

 raakpunt samen en zijn dus gelegen op de raaklijnen van de raak- 

 vlakdoorsnede in ditzelfde punt. 



Bij ontleding blijkt het een dubbel i2-punt te zijn. Daar de bol- 

 punten in het oneindige alle onbestaanbaar zijn, zijn de overeen- 

 komstige dubbel-ombilikaalpunten, en de enkelvoudige waarin zij 

 zich splitsen, steeds onbestaanbaar. 



e. De punten .in het oneindige der spinodale lijn als enkel- 

 voudige ombilikaalpunten, wanneer de raaklijn der 

 spinode in het vlak in het oneindige valt. 



10. Beschouwt men een punt waarin de spinodale lijn van o> het 

 vlak a snijdt dan ziet men gemakkelijk dat dit punt als een 52-punt 

 zal moeten worden beschouwd zoo vaak de keerpuntsraaklijn der raak- 



