(■ 397 ) 



vlakdoorsnede in liet vlak a valt, 't welk een enkelvoudige voorwaarde 

 is. Het blijkt echter, dat dit punt zich door deformatie niet uiteen 

 laat drijven en dus als een enkelvoudig «52-punt en het daarmede 

 overeenkomstige ombilikaalpunt evenzeer als een enkelvoudig ombili- 

 kaalpunt moet worden opgevat. Dit ombilikaalpunt kan bestaanbaar 

 of onbestaanbaar zijn. De hier aangegeven wijze is de éénige waarop 

 bestaanbare ombilikaalpunten het oneindige kunnen bereiken zonder 

 in een veelvoudig ombilikaalpunt over te gaan, d. w. z. zonder aldaar 

 andere ombilikaalpunten te ontmoeten. 



f. De snijpunten van het oppervlak met de lijn der bol-punten 

 in het oneindige als enkelvoudige ombilikaalpunten, wan- 

 neer één der dubbelpuntsraaklijnen in de raakvlak- 

 doorsnede in het vlak in het oneindige valt. 



11. Dat namelijk het overeenkomstige punt op a> een Ö-puntis, 

 is onmiddellijk duidelijk, en bij onderzoek blijkt het enkelvoudig te 

 zijn. Als ombilikaalpunt is het natuurlijk steeds onbestaanbaar. 



Toepassing op de oppervlakken van den tweeden graad. 



12. De vergelijking van een tweedegraadsoppervlak kan, wanneer 

 de oorsprong in een zijner ombilikaalpunten wordt geplaatst, bij 

 geschikte assenkeuze, gebracht worden in den eindigen vorm : 



z-c^+^^k^z + k^z^k^ .... (10) 

 De waarde van z in het tweede lid overbrengend levert dit de 

 reeksontwikkeling : 



z — g x (,ü 2 + f) -f k lCl x 3 . + h^fy + k x G x xf + k 2 c x y s -}- . (11) 

 Deze vergelijkende met (1) blijkt onmiddellijk, dat voor de ombili- 

 kaalpunten op een tweedegraadsoppervlak steeds: <7 1 = c/ 3 , r/ 2 — <7 4 , 

 derhalve K x < 0. Voorts gaat de derdemachtsvergelijking (7) over in 

 (d x n — d 2 ) {n 2 -\- 1) = ; derhalve K 2 <^ 0. Hieruit blijkt, zooals trou- 

 wens bekend is, dat op een tweedegraadsoppervlak nimmer andere 

 ombilikaalpunten clan die van de derde soort kunnen optreden. 



Hieruit volgt dan weder onmiddellijk dat op een tweedegraads- 

 oppervlak geene gewone dubbelombilikaalpunten kunnen optreden. 

 Inderdaad zijn naast de dubbelpunten de eenige mogelijke veelvoudige 

 ombilikaalpunten in het eindige op een tweedegraadsoppervlak de 

 toppen van een omwentelingsoppervlak ; maar dit zijn viervoudige 

 ombilikaalpunten , wier optreden bij oppervlakken van hoogeren 

 graad meer dan ééne betrekking tusschen de coëfficiënten der verge- 



