( 412 ) 



door door den top een vlak te leggen loodrecht op b 1 ; dit vlak 

 gaat door a 1 en snijdt den kegel nog in de beide loodrecht op elkaar 

 staande hoofdassen b 2 en b z . 



In het algemeen zal deze kegel geen dnbbelstraal hebben en dns 

 niet imicnrsaal zijn. 



3. Zij nn een bundel kwadratische oppervlakken gegeven. Uit 

 een punt O in de ruimte als top construeere men de parallelkegels 

 ten opzichte der asymptotenkegels van de verschillende oppervlakken ; 

 op deze wijze ontstaat er een kegel bundel, waarbij men, overeen- 

 komstig het voorgaande, den assenkegel kan construeeren. De assen- 

 triëders van dezen kegel zijn evenwijdig aan de assentriëders van 

 de oppervlakken van den bundel. 



Men construeere verder de cubische ruimtekromme <p 9 , welke de 

 meetkundige plaats is der middelpunten van de oppervlakken van 

 den bundel; construeert men vervolgens uit elk middelpunt een 

 triëder evenwijdig aan het overeenkomstige assentriëder van den 

 kegel, dan ontstaat het oppervlak, dat de meetkundige plaats der 

 hoofdassen vormt. Hieruit volgt : 



De meetkundige plaats der hoofdassen van de kwadratische opper- 

 vlakken behoorende tot een bundel is een regeloppervlak, waarvan 

 een der richtkrommen een cubische ruimtekromme <p s is, en dat een 

 cubischen richtkegel bezit ; elk punt der cubische kromme is homoloog 

 met een stralentriëder van den kegel. 



4. De graad van het oppervlak kan bepaald worden door na te 

 gaan, door hoeveel hoofdassen een willekeurige rechte / gesneden 

 wordt, of wel, 't geen op hetzelfde neerkomt, hoeveel vlakken er 

 door / kunnen gelegd worden, die een hoofdas bevatten. 



Zij A een punt van y 3 , daarmede komen op de Jacobische kromme 

 C z in het vlak in het oneindige V* overeen drie punten A\, A\, A\. 

 Zij verder P een vlak door / gelegd, zoo snijdt dit gp 3 in drie punten 

 A, B, C, waarmede weder in V*> de punten A\, A\ . . . C\ over- 

 eenkomen; alzoo komen met het vlak P door / negen vlakken 

 P\, P.\ . . . P\ overeen. 



Neemt men omgekeerd een punt A' op C 3 aan, dan komt hier- 

 mede slechts één punt A op <p 3 overeen. Legt rnen nu een vlak 

 P' door /, dan snijdt dit C z in drie punten A' , B' , C", waarmede 

 drie punten A, B, C overeenkomen ; alzoo komen met een vlak 

 P' drie vlakken P overeen. Hieruit volgt: 



De beide coaxiale vlakkenbundels P en P' staan tot elkander 

 in een correspondentie (3,9). Het aantal coïncidentie-elementen 

 bedraagt dus 12. 



Op grond van deze redeneering mag evenwel niet het besluit 



