( 413 ) 



worden getrokken, dat de graad van het regeloppervlak 12 zoude 

 zijn; deze graad moet verminderd worden met bet aantal der ge- 

 meenschappelijke punten van <p z en C z . De drie snijpunten van <p z 

 met V* liggen namelijk op C n , noemt men een dezer snijpunten 

 S, dan valt S 1 met S samen en dat Avel onafhankelijk van den stand 

 der aangenomen rechte /. Van de 12 coïncidentievlakken gaan er 

 dus 3 door de snijpunten van <p 3 en C z en voor den graad van het 

 regeloppervlak blijft dus 9 over. 



5. Een volledig onderzoek van dit oppervlak 9 is zeer veelom- 

 vattend, we kunnen evenwel enkele eigenschappen nagaan en bijzon- 

 derheden opsporen. Uit den opzet van het vraagstuk volgt, dat uit 

 elk punt van <p\ drie beschrijvende rechten gaan, welke F» in de 

 drie overeenkomstige punten treffen, </ 3 is dus een drievoudige 

 kromme van 9 . 



De doorsnede van V* met O d bezit eenige bijzonderheden, die 

 we zullen nagaan. Allereerst liggen op haar de drie middelpunten 

 S x , >S 2 , >S 3 der paraboloiden van den bundel, die we voorloopig be- 

 staanbaar zullen onderstellen. Uit elk dier punten gaan twee hoofd- 

 assen, die dus twaalf onderlinge snijpunten hebben. Buitendien snijdt 

 elk dier assen C 3 nog in twee punten, die dus als dubbelpunten 

 kunnen beschouwd worden; een dezer punten behoort echter tot 

 een puntentripel, overeenkomende met een snijpunt van y 3 met C 3 

 en kan als een raakpunt van het vlak van doorsnede F* met 9 

 worden opgevat. Vat men deze resultaten samen, dan komt men tot 

 de volgende stelling : 



De doorsnede van 9 met F* is een ontaarde kromme van den 

 negenden graad, die in een kubische kromme en zes rechte lijnen 

 is overgegaan. Op deze doorsnede liggen twaalf dubbelpunten, snij- 

 punten der hoofdassen twee aan twee; verder liggen daarop nog 

 zes dubbelpunten gedurig gevormd door een der snijpunten van een 

 hoofdas met C\ en zes raakpunten, zijnde deze laatste de over- 

 schietende snijpunten. Alzoo is F» een zesvoudig raakvlak van 8 . 



Men komt dus tot het besluit, dat 9 , behalve de drievoudige 

 kromme y 3 , nog een dubbelkromme bezit, waarvan voorloopig niet 

 uitgemaakt is hoe zij is samengesteld, maar waarvan de totale 

 graad 18 is. 



Het aantal snijpunten dezer kromme met een der beschrijvende 

 rechten van 9 is te bepalen. Zij a een dezer rechten, die dus een 

 punt A van <p s met een der overeenkomstige punten A\ op C\ 

 verbindt. Een willekeurig vlak Q door a snijdt #> 3 nog in twee 

 punten B en C waarmede op C z twee pnntentripels B\, B\, B\ 

 en C"i, C" 2 , C' t overeenkomen. Op dezelfde wijze snijdt een vlak Q' 



