(415 ) 



andere regeloppervlakken, die elkander in lmn gemeenschappelijke 

 richtkromme <f z doorsnijden. (f z is bij het eene regeloppervlak 

 dnbbelkromme, bij het andere enkelvoudig. Hieruit laat zich reeds 

 vermoeden, dat het eerste der beide regeloppervlakken van den 

 zesden, het tweede van den derden graad zal zijn. Dit kan nog 

 nader op de volgende wijze beredeneerd worden. 



Zij / weder een rechte; een vlak P door / heeft drie punten 

 A, B, C met (f z gemeen, met welke zes punten A\, A\ . . . C' x , C\ 

 op C. 2 overeenkomen ; alzoo komen met P zes vlakken P' overeen; 

 legt men omgekeerd door / een vlak P', dan snijdt dit C 2 in hvee 

 punten, waarmede op <p z twee punten overeenkomen, zoodat tusschen 

 de vlakken P en P' een correspondentie (2, 6) bestaat. Nu heeft 

 evenwel (f z een punt gemeen met C x , daar C\ het raakpunt van 

 eene hyperbolische paraboloide van den bundel met F«, bevat, alzoo 

 blijven er voor <p z twee snijpunten met C 2 over, en de graad 8, die 

 door de correspondentie (2, 6) zoude ontstaan, moet met 2 vermin- 

 derd worden ; er ontstaat dus een regeloppervlak 6 van den zesden 

 graad. Het tweede regeloppervlak O z is van den derden graad. 



Bij het algemeene geval bestond de doorsnede van Vö, met 9 , 

 behalve uit C 3 , uit drie paren rechte lijnen, die we a x a 2 , b x b 2 , c x c 2 

 zullen noemen. Wanneer 9 op de boven omschreven wijze ont- 

 aardt, zullen deze rechten zich ook tusschen 6 en O z verdeelen. 

 Zij A' het punt waar <p z de rechte C 1 snijdt, alzoo het raakpunt 

 eener hyperbolische paraboloide van de bundel; door A' gaan dan 

 de twee hoofdassen a x a 2 en deze behooren tot 9 , terwijl de niet 

 in V, liggende hoofdas door A' tot O z behoort. Tot O z behooren 

 dus één hoofdas van elk der paren b x b. 2 en c x c 2 , alzoo is F» een 

 dubbelraakvlak van O z en bestaat de doorsnede van 6 met F* 

 uit de kegelsnede C,, het assenpaar a x a. 2 en de hoofdassen h x en c : . 

 Van a x en a 2 is het snijpunt a x a 2 dubbelpunt in de snijkromme 

 van Fa met 6 , een van elk der snijpunten van a x en a. 2 met 

 C 2 is raakpunt, alzoo ligt zoowel op a 1 als op a 2 nog een dubbel- 

 punt. Tan elk der snijpunten van b x en c x met C 2 is er één raak- 

 punt, het andere is tevens snijpunt van </ 3 en C 2 . Alzoo blijven 

 nog als dubbelpunten de snijpunten van b x , c x , a x , a 2 onderling; 

 deze zijn, buiten het reeds getelde snijpunt a x a 2 , dat tot <f z behoort, 

 vijf in getal. Alzoo bedraagt het geheel aantal der niet op (f z gelegen 

 dubbelpunten der doorsnede van 6 met Y* 7. Hieruit volgt dat 

 6 , behalve <p 3 , nog een dubbelkromme van den zevenden graad 

 bezit. Legt men een vlak door een beschrijvende rechte 1 en 

 onderzoekt men hoeveel rechten daarin gelegen zijn, dan vindt men. 

 in overeenstemming met vroegere resultaten, het aantal 3. 



