( 484 ) 



Wiskunde. — De Heer Schoute biedt een mededeeling aan : „Over 

 de regels van Guldin in de meerdimensionale ruimte". 



We denken ons in de ruimte R n met n afmetingen een asruimte 



R p en in een ruimte R p +\ door deze Ry een begrensd gedeelte 



van p -f- 1 afmetingen, dat om R p wentelt. Daarbij beschrijft een 

 willekeurig punt P van dit begrensde gedeelte, dat onafhankelijk 

 van den vorm zijner begrenzing een polytoop heeten en door het 

 symbool {Pó) p j r \ voorgesteld worden mag, een bolruimte van n — p 



afmetingen gelegen in de ruimte R n ~ P door E loodrecht op R- p , die 



de projectie Q van F op R p tot middelpunt, PQ tot straal heeft 

 en dus door het symbool B n - p (Q, PQ) aangewezen worden kan. 

 De vraag die ons bezig houden zal, is nu deze: 



„Hoe bepaalt m en inho u d e n o p p e r v 1 a k y a n d e 



d o o r w en teling v a n (Pö) _|_i o m R p v o o r t g e b r a c h t e 

 o m w e n t e 1 i n g s f i g u u r, a 1 s a a n g e n o m e n w o r d t, d a t 



(Po) p +\ en R p , -hoewel in d e z e 1 f d e r u i m t e R p +i g e 1 e- 

 g e n, g e e n p u ut ge m een h e b b en?" 



Dit vraagstuk wordt opgelost met behulp van een eenvoudige uit- 

 breiding der bekende regels van Guldin, die in onze ruimte bij de 

 bepaling van inhoud en oppervlak eens omwentelingslichaams dienst 

 doen. Tot het bewijs van deze uitgebreide regels behoeft men slechts 

 te weten, dat het oppervlak der boven vermelde bolruimfe B n — p (Q, PQ) 

 gevonden wordt door PQn-e— 1 met een slechts van n — p afhangenden 

 coëfficiënt o n — p te vermenigvuldigen ; bij de toepassing ervan echter 

 |s het wenschelijk niet alleen dezen oppervlakscoëfiicient o n — p , maar 

 ook den inhoudscoëfficient i n .- p te kennen, waarmee PQ n ~ p verme- 

 nigvuldigd moet worden ter verkrijging van den inhoud der zelfde 

 bolruimte. Daartoe vermelden we vooraf, dat — zooals rechtstreeksclie 

 integratie leert tusschen deze coëfficiënten de recurrente betrek- 

 kingen 



2jt . 2.TT 



In = hl— 2 , O n = — n —2 .... (1) 



n n — ó 



bestaan, terwijl de bekende betrekking tusschen inhoud en opper- 

 vlak nog eenvoudiger tot de vergelijking 



1 



'hi = — o n (2) 



n 



voert. Zoo vindt men tol en met n .= 12 uil de bekende waarden 

 van /' 3 , i z en o ti o z 



