( 487 ) 



ment S (r, q, a) n door den inhoud eener b o i r u i m t e B n 

 met q tot straal te vermenigvuldigen met cos a." 



„Men vindt het oppervlak van het omwentelings- 

 segment S(r,(>,a) n , dat bij de wenteling van S n -\(r,Q) door 

 de b oir ui m te begrenzing wordt doorloopen, door den 

 omtrek eens cirkels met r tot straal te vermenigvul- 

 digen met den inhoud der projectie v a n d e b a s i s b e g r e n- 



zing van S n —ï (r, q) op de asruimte Én—z" 



Deze stellingen zijn eenvoudige meerdimensionale uitbreidingen 

 van bekende stellingen der stereometrie. Zij kunnen door recht- 

 streeksche integratie gevonden worden, waarbij het geval a '■==. 

 bijzonder veel eenvoudiger is dan dat van een willekeurigen hoek «. 

 En nu leeren de regels van Guldin juist de integratie in het alge- 

 meene geval te vermijden, wijl ze onmiddellijk doen zien, dat de 

 stellingen waar zijn voor het geval van een willekeurigen hoek «, 

 zoodra ze voor « = bewezen zijn. Zijn namelijk X{ en x de af- 

 standen der zwaartepunten van inhoud I n —\ en oppervlak O n _i van 



S n —\(r,Q) tot Rn-o, waarbij onder O n —i nu weer uitsluitend de bol- 

 ruimtebegrenzing bedoeld wordt, dan geven de regels van Guldin ons 

 I a = 2üï x{ cos a . I n —\ \ O x = 2jt x cos a . O n —\ \ 



I =2jtXi . I n —\) o -=271X0 . O n —i) 



en hieruit volgt onmiddellijk 



l y = I cos a , Da. == cos a 



en dus het boven beweerde, zoodat alleen voor a == de bewijzen 

 nog te leveren zijn. 



We beginnen met den inhoud. Is x de afstand van R n —2 tot een 



evenwijdige ruimte Rn— 2, die S n —i (r, q) volgens een bolruimte B n x l 2 

 met y = [/r* — x 2 tot straal snijdt, dan is de gevraagde inhoud 



x = r 



I = 2 jt i n - 2 I y n ~ 2 scdx 

 en dit gaat, wijl x 1 -{-?/ = r 2 en xdx -f ydy = is, over in 



I = 2?t i n _ 2 yn-\ dy — — i n _ 2 Q n == i n Q n , 

 J n 



o 



waarmee het bijzondere geval der inhoudsstelling bewezen is. 



In liet bijzondere geval der oppervlaksstelling beschouwen we het 

 oppervlakelement ontstaan door wenteling van het tusschen de even- 



34 



Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XIII. A°. 1904/5. 



