( 489 ) 



4. De rin g gr o e p. Door wenteling van een bolruimte B n —j c (r) 



om een ruimte Rn—h—\ harer ruimte R n —ic op een afstand a > r van 

 het middelpunt verwijderd ontstaat in R n de ring of „torus" T(r,a) n ,k> 

 Voor inhoud I(r,a) n j c en oppervlak 0{r,a) n> k dezer omwentelings- 

 figuur van den rang k vindt men 



I (*", a)n,fc = Oit+i *«.— fc-i 



l/r"—» 1 >+»)^ 



(1), 



ö 0', «)»,£ = r ok+i o n —h—\ \ [/r 



-k—3 



- — n — K — ó 



x 2 {a^-xfdso 



waaruit weer de herleidingsformule 



On ilc = 2jtr I n ^ 2Jc . (2) 



volgt. 



Voor de gevallen k = 1 en k = 2 worden de uitkomsten gemakke- 

 lijker uitgewerkt met behulp van de regels van Guldin, als men gebruik 

 maakt van zwaartepunt en slingerpunt der wentelende bolruimte. 



Geval k = l. Wijl het zwaartepunt van inhoud en oppervlak 

 der bolruimte B n —\ (r) in het middelpunt ligt, vindt men 



J= 2 7t a. z n _i r n ~ l , = 2 Jt a, o n —\ r n ~ 2 . 



Geval k=2. De traagheiclsstralen van inhoud en oppervlak 

 eener boirnimte B n —% (r) met betrekking tot het middelpunt zijn 



r \X en r, die met betrekking tot een diametraalruimte R n -s 



dus r \/ — en r 1/ — — . Derhalve vindt 



men 



I — 4rt ( a % -| r 2 ) i n _ 2 r n ~ 2 , O = ±jr ( a 2 -\ r 2 j . o„_ 2 ^- 3 . 



Laat men in plaats van de geheele bolruimte B n —j c (f) slechts een 



halve bolruimte B n —jc (r) wentelen om een ruimte Rn—k—i in haar 

 ruimte R n —h evenwijdig aan haar basis op een afstand a, dan ver- 

 anderen de grenzen ( — r, r) der beide integralen (1 ) in (0, r) of 

 ( — r, 0), naarmate de halve bolruimte K n -i c (f) haar basis- of haar 



bolruimtebegrenzing naar de asruimte Rn—h—\ toekeert. We houden 

 ons nog een oogenblik met het eerste dezer gevallen bezig en wel 

 voor k = 1 en k = 2. 



G e v a 1 (0, r), k = 1. Men vindt onmiddellijk 



34* 



