( 541 ) 



Q = a h A 1 A 3 + a l9 A* + a ls A 2 A t — a ls .4/ — « 32 .4, A 2 — a 23 A, A,, 

 M' == 6 lf 5, J3, + 6 22 5 2 5 3 + & 23 i? 3 2 - b l9 B x B 2 - b % \ i? 2 2 - 6 33 £ 2 i? 3 ; 

 N' = a 12 5, 5, + fr, 2 A, B z + & 12 A 3 5, + a 22 B 2 B z + b 22 A, B z + 

 K A B 2 4" a 2S B* + 2£ 23 A % B z - a, 3 ^ B 2 - b lt A x B 2 - 

 b l9 A, B x - a 23 B 2 > - 2b 2Z A 2 B 2 - « 33 B 2 B 3 - 6 33 A t B 2 - 



hz K B % ; 



P' = b 12 A x A s + a 12 A s B x + a„ A x B z + b 22 A 2 A z + a 22 A z B 2 + 

 « 23 A B s 4 2.« 23 ,1 3 jB 8 + 5 23 ^ 3 2 — & 13 J r ^ — a I3 ^ 1 # s — 



a iZ B l A * — 2a iZ A l B 2 — ^23 A l 2 — ^33 A 2 A Z ~ «33 A B * ~ 

 «33 A Z B l i 



Q' = « 12 il, i 3 + a 22 .4 2 4, + a 23 .4 3 2 — a 13 4, ^4 2 — « 23 .4 2 2 — a 33 J 3 J 3 . 

 6. Met behulp dezer uitdrukkingen kan de vergelijking van liet 

 assen-oppervlak voor elk voorkomend geval bepaald worden. Daar- 

 door is het doel dezer mededeeling bereikt ; we zullen haar besluiten 

 met eenige opmerkingen. 



a. Zelfs in het algemeene geval is bekorting bij de uitvoering 

 mogelijk. Neemt men aan dat de eoördinaatassen langs de assen van 

 een der oppervlakken, b.v. van I> = 0, vallen, dan wordt b l2 — 0, 

 b is = 0, b 2Z == 0, b 14 = 0, b 2A = 0, b S4 = 0, terwijl ook B t , B 2 , B z 

 eenvoudige gedaanten aannemen, en alle coëfficiënten, behalve Q en 

 Q', vereenvoudigd worden. 



Tevens blijkt bij deze substitutie, dat uit de vergelijking (8) een 

 factor kan worden verwijderd ; voert men namelijk de bovengenoemde 

 waarden voor hu in, dan vindt men: 



M = (&„— bj B x B, M' = (6„ - b„) B t B, ; 

 hieruit volgt dat de eerste kolom van den determinant (8) door B 2 

 deelbaar is. Deze deelbaarheid hangt samen met het feit, dat de ver- 

 gelijking van het assenoppervlak van den negenden graad moet 

 worden, terwijl bij ontwikkeling de determinant (8) van den twaalf- 

 den graad wordt. Bij volledige uitwerking moeten dus factoren uit 

 (8) wegvallen. 



b. Uit de vroegere meetkundige behandeling blijkt, dat het opper- 

 vlak 9 in sommige gevallen ontaardt. Als een der daarbij optre- 

 dende bijzondere gevallen werd het geval eener circulaire basiskromme 

 van den bundel behandeld, waarbij Ö 9 zich in een cubisch oppervlak 

 en in een oppervlak van den zesden graad splitste. De vergelijkingen 

 bij de stelkundige behandeling van dit geval worden, wanneer men 

 het vlak X O Y kiest als vlak, dat volgens een cirkelbundel gesne- 

 den wordt : 



A = a„ et' 2 + a„ f + 2a„ xz + 2a 23 yz + 2a 34 z + a 44 = , 

 B = b zz z* + 2b» xz + 26 23 yz + 2b l4 m + 26 34 z = 0. 

 Uit deze vergelijkingen kunnen de vereenvoudigde waarden voor 

 M,N . . . . afgeleid worden. 



38 

 Verslagen der Afdeeling Natuurk. Dl. XIII. A°. 1904/5. 



