( 590 ) 



beschouwing dezer gelijkvormigheidspunten. Daarbij stellen we de 

 boJ ruimte, die in R n weer de meetkundige plaats is van de op een 

 afstand r van het middelpunt M gelegen punten, door het symbool 

 B n {M,r) voor. 



2. Even als bij twee in een zelfde vlak gelegen cirkels komen 

 bij twee in R n liggende bolruimten B n (M 1 ,i\) en B n (M 2 ,r 2 ) op de 

 verbindingslijn M x M % der middelpunten twee gelijkvormigheidspunten 

 voor, een uitwendig gelijkvormigheidspunt U 12 en een inwendig 

 gelijkvormigheidspunt J l2 ; door U 12 gaan de verbindingslijnen P x P 2 

 der uiteinden P i? P % van rechtstreeks evenwijdige stralen, door 7 12 

 de verbindingslijnen P v P' t der uiteinden P lt P\ van tegengesteld 

 evenwijdige stralen. 



We onderstellen nu, dat in R n een aantal van n -\- 1 bolruimten 

 B n (Mic,ric), (k = l,2, . . . , n-\-l) willekeurig gegeven is, en gaan 

 nu de ligging der (n -\- 1) 2 paren gelijkvormigheidspunten ( U p>q , I P}(] ) 

 met betrekking tot elkaar onderzoeken. Daartoe merken we eerst 

 op, dat de drie paren gelijkvormigheidspunten der drie bolruimten 

 B n (Mi,Vi), {1=1, 2, 3) de drie paren tegenoverstaande hoekpunten 

 van een volledige vierzij vormen, daar ieder der vier puntendrietallen 



(U^U l% U^ (CJ l2 I 13 I^ (l l2 U lz I^ (I l2 I ls U 2 ,) 



uit drie punten eener rechte bestaat; we duiden deze lijnen in de 

 aangewezen volgorde door 



7 ft) p) ft) 



H23 ? ^12 » ^13 ? ^23 



aan. Beschouwen we nu verder de n — 1 lijnenparen (I\o p , Ify) door 



U l2 en de w — 1 lijnenparen il\ p ,A p ) door 7 12 — waarbij ^> achter- 

 eenvolgens de n — 1 waarden 3, 4, . . . , n + 1 aanneemt — , dan 

 blijkt onmiddellijk, dat elke ruimte P n _i door n — 1 lijnen / door 

 £7 13 (of / Ta ) — met alle onderling verschillende aanwijzers p — van elk 

 der (n -\- 1) 2 paren gelijkvormigheidspunten ( U p>q , Ip„) er een bevat. 

 Zoo zal een ruimte R n —\ door ??, — 1 lijnen / door t/ 12 het punt 

 U Pi q of het punt J p>q bevatten, naarmate de beide lijnen / met p en 

 q tot derden index gelijksoortig of ongelijksoortig zijn, en vindt bij 

 een ruimte R n —i door n — 1 lijnen / door / 12 precies het omgekeerde 

 plaats. Omdat de keus der lijnen / in beide gevallen met n — 1 

 bifurcaties overeenstemt, gaan er door elk der beide punten U lt , 7 12 

 2 n ~ l dier ruimten 24— 1 • Dus geldt de stelling : 



„Er zijn 2 n ruimten R n —\ aan te wijzen, waarvan elk (n -f- 1) 2 

 gelijkvormigheidspunten van een stelsel van n + 1 willekeurig in 



