( 594 ) 



de middelpunten Afk der n bolruimten, die aangeraakt moeten worden, 

 in een ruimte 24—2 liggen. 



De middelpunten Afk der n gegeven bolruimten B n (Afk, rjc) bepalen 

 een ruimte R n —\, die deze bolruimten volgens ,,groote bolruimten" 

 24—1 {Alk, rk) en dus loodrecht snijdt. Zij O het machtpunt van deze 

 n bolruimten 24— i en r 2 de voorloopig positief onderstelde macht 

 van dit punt met betrekking tot de bolruimten B n —\. Dan snijdt de 

 in 24— 1 liggende bolruimte 24— i (O, r) de n bolruimten B n —\ (Afk, r/c) 

 en dus ook de n bolruimten B n (Afk, rk) loodrecht. Derhalve doet 

 een transformatie door weerkeerige voerstralen met een willekeurig 

 punt O' van het oppervlak der bolruimte B n -i(0,r) als centrum 

 de n gegeven bolruimten B n (Afk, ?'&) en de haar loodrecht snijdende 

 bolruimte B n —\ (0,r) overgaan in n nieuwe bolruimten B' n en een 

 haar loodrecht snijdende ruimte 24—2- Dit bijzondere geval, waarbij 

 de middelpunten Al'k der n bolruimten, die aangeraakt moeten 

 worden, in een ruimte 24—2 liggen, zal eerst behandeld worden. 



5. Is B' n een bolruimte, die de n nieuwe bolruimten B' n aan- 

 raakt, dan zal deze bolruimte B" n bij draaiing om de ruimte 24—2 

 door de n middelpunten Af'k in eiken stand de n bolruimten B' n 

 aanraken en dus een enkelvoudig oneindige reeks van aanrakende 

 bolruimten vormen. In een willekeurige ruimte 24— ï door de as- 

 ruimte R n — 2 vindt men volgens de boven verkregen uitkomsten 2 n ~ l 

 paren van bolruimten B" n —\, die de in 24— ï liggende groote bolruimten 

 B' n —i van de n bolruimten B' n aanraken, en elk dezer paren bestaat 

 hier uit den aard der zaak uit twee bolruimten 22"„_-i ? die met betrek- 

 king tot 24-2 symmetrisch liggen. Daar elk dier paren bij draaiing- 

 tot een enkelvoudig oneindige reeks voert, zijn er 2' 2—l zulke reeksen. 

 De bolruimten van elk dier reeksen worden — vergelijk mijn vorige 

 mededeeling op blz. 489 — door een ?2-dimensionalen torus T n ,\ om- 

 huld ; haar middelpunten liggen op een cirkel. En beperkt men zich 

 tot een der 2 n — 1 reeksen, dan kan men het stelsel der n aangeraakte 

 bolruimten B' n uitbreiden tot een n — 2-voudig oneindige reeks door 

 zich alle bolruimten voor te stellen, die uit de punten van 24-2 zoo 

 beschreven worden, dat zij een der bolruimten van de enkelvoudig 

 oneindige reeks en dus ook alle bolruimten dier reeks aanraken. 



6. Bepalen we ons nu verder tot een enkele der 2 n — l enkel- 

 voudig oneindige reeksen, dan hebben we dus twee stelsels van bol- 

 ruimten gevonden, die de merkwaardige eigenschap bezitten, dat elke 

 bolruimte van het eene stelsel elke bolruimte van het andere stelsel 

 aanraakt. Van deze beide stelsels is het eene een enkelvoudig oneindige 



