( 595 ) 



reeks van even groote bolruimten met een cirkel C(;M :, r 6 ), die M en 



en r tot middelpunt en straal hebben en in het vlak e 9 liggen mag, 

 tot meetkundige plaats van middelpunten, terwijl het andere een 

 n — 2-voudig oneindige reeks is met de ruimte Zü„— 2 loodrecht in 

 M op e tot meetkundige plaats van middelpunten. Hoe vervormen 

 zich deze beide stelsels, als we op beide — om weer tot onze n 

 g^g(d\<d{\ bolruimten B n terug te keeren — de transformatie door 

 weerkeerige voerstralen met 0' tot centrum en de boven gebruikte 

 macht opnieuw toepassen? 



De beantwoording dezer vraag wordt gemakkelijk gemaakt door 

 de opmerking, dat de ^-dimensionale figuur, bestaande uit de beide 

 stelsels S' x , S' n —2 en hun omvormingen S 19 S n —2, een symmetrievlak 

 bezit, het vlak <j door M , O' en de projectie 0" van O' op R n — 2- 

 Dit vlak o, dat het vlak van teekening vormt van fig. 2, heeft met 

 e de met O' 0" evenwijdige middellijn m' van den cirkel C(M , r ) 

 gemeen en staat volgens die lijn m' loodrecht op s ; dus is het 

 symmetrievlak voor S\. Verder heeft het met R n —2 de lijn M O" 

 gemeen en staat het volgens die lijn a loodrecht op R n -2', dus is het 

 ook symmetrievlak voor S'n—2- En als het symmetrievlak is voor 

 S\ en S'n—2, dan is het dit ook voor S t en S n — 2, omdat het het 

 centrum O' der transformatie bevat. 



We bewijzen nu vooreerst, dat de middelpunten van de bolruimten 

 van S x in een kegelsnee liggen. Daartoe beschouwen we in het 

 symmetrievlak o (fig. 2) de snijpunten M', M" met den cirkel C(M , r ), 

 den cirkel van doorsnee C(M 1 ,?\) met de bolruimte JB t ' n {M 1 ,r 1 ) 

 van S\ en het punt O van de lijn M'O', waarvoor M'0'.M r O = /\ 2 is. 

 Dan is het punt A van a, dat van O' en O even ver verwijderd is, 

 het middelpunt van een bol B S (A, AO') met AO' tot straal, die 

 B" n (M', r') en dus ook alle bolruimten B" n der enkelvoudig oneindige 

 reeks loodrecht snijdt. Deze bol gaat door de transformatie door 

 weerkeerige voerstralen met O' tot centrum over in een vlak e lood- 

 recht op O'A, dat o volgens een loodrecht op O'A staande lijn m 

 snijdt; dit vlak 8 moet de middelpunten der bölruimten van S 1 be- 

 vatten, daar het al die bolruimten loodrecht snijdt. En verder blijft 

 bij de transformatie het middelpunt eener bolruimte op de lijn, die 

 dit punt met het centrum O' der transformatie verbindt; dus moet 

 de scheve kegel met O' tot top en cirkel C(M ó ,r ) tot basis de mid- 

 delpunten van de bolruimten der reeks S x bevatten en is cle meet- 

 kundige plaats dier middelpunten de kegelsnee van doorsnee van 

 dezen kegel met het vlak e. Van deze kegelsnee is ra een as van 

 symmetrie en zijn de punten M' en M", die de middelpunten der getrans- 

 formeerde bolruimten B" n (M',r'), B" n (M",r') worden, toppen. Deze 



