( 597 ) 



O om m draait. En omdat elke bolnümte B n van S x de twee bol- 

 ruimten van S n -\ aanraakt, die de toppen der hyperbool H tot 

 middelpunten hebben, zijn omgekeerd die toppen der hyperbool H 

 de brandpunten der ellips *?. Dus geldt de stelling : 



„De bolruimten Bn, die n willekeurig in R n gegeven bolruimten 

 B n aanraken, vormen 2 n ~ l enkelvoudig oneindige reeksen. De bol- 

 ruimten van een willekeurige dier reeksen hangen hierdoor samen, 

 dat ze een bepaalde bolruimte B' n (°) loodrecht snijden en haar mid- 

 delpunten op een bepaalde kegelsnee (JT) liggen ; de bepalende 

 grootheden, bolruimte B'»^ en kegelsnee (ƒ£'), veranderen van reeks 

 tot reeks. Met elke reeks komt als omhullende van haar bolruimten 

 een bepaalde gebogen ruimte van den vierden graad overeen, de 

 w-dimensionale cyelide van Dupin. En beperkt men zich tot een enkele 

 reeks, dan laat het stelsel der n gegeven bolruimten B n zich uit- 

 breiden tot een n — 2-voudig oneindige reeks van bolruimten B n , die 

 hierdoor samenhangen, dat ze een andere bolruimte B n ^ loodrecht 

 snijden en haar middelpunten gelegen zijn op het oppervlak eener 

 omwentelingsfiguur ontstaan door wenteling van een kegelsnee (K). 

 Deze twee kegelsneden (K) en (K') liggen in onderling loodrechte 

 vlakken zóó, dat de brandpunten van de eene toppen zijn van de 

 andere en omgekeerd." 



7. De toegepaste transformatie door weerkeerige voerstralen wordt 

 onmogelijk in het bestaanbare gebied als de gemeenschappelijke 

 macht van het machtpunt der n gegeven bolruimten B n met be- 

 trekking tot die bolruimten negatief Avordt. In dit geval kan men 

 alvorens te transformeeren de stralen der n gegeven bolruimten zoo 

 met een gemeenschappelijk bedrag verminderen, dat de straal van 

 een dier bolruimten verdwijnt. Dan is de macht van het macht- 

 punt O der nieuwe bollen zeker positief. Door nu met het nieuwe 

 stelsel te opereeren en daarna, als het stelsel S gevonden is, de stralen 

 der bolruimten van S met het aangenomen bedrag te vermeerderen, 

 komt men tot het verlangde doel. Zoo als gemakkelijk blijkt, kan 

 men zelfs de stralen van eenige der gegeven bolruimten met den 

 straal der bolruimte, die punt-bolruimte worden gaat, vermeerderen, 

 mits men de reeks der rakende bolruimten hiermee overeenkomstig 

 kieze. 



8. Zijn er ook niet-lineaire stelsels $k en Sn—k— i van bolruimten 

 B n , respectievelijk &-voudig en n — k — 1-voudig oneindig, in R n zoo 

 gelegen, dat elke bolruimte van het eene stelsel alle bolruimten van 

 het andere aanraakt ? 



