= (7) 



( 602 ) 



welke door de punten P , 0,X^ Y^,Z^ gaat (v = 0, oo, — a% — b 2 , — c 2 ), 

 dus een orthogonale kubische hyperbool co 3 is. Elk van haar punten 

 P x bepaalt een ellipsoïde, waarvoor P X P de normaal in P ï is. 



Door een gegeven punt P 1 gaan oo 1 krommen co 3 • hun „nulpunten" 

 P worden aangewezen door 



a 2 ^ = (a 2 + wja? 1 , b 2 y = (b 2 + u)y 1 , c 2 v = (c 2 + u)z x , . (5) 

 en liggen dus op de normaal, welke P 1 tot voetpunt heeft. 



Deze krommen zijn allen gelegen op het oppervlak, dat bepaald 

 wordt door de vergelijkingen 



_{a* + u)x x _ (b 2 + n)y x _ (c 2 + ^K 

 ":^ a 2 + v' y ~ b 2 + v ' * - c 2 + v ' ' * ' () 



of ook door de hieruit door eliminatie van u en v verkregen ver- 

 gelijking 



a 2 (x — a? 1 ) x x 



h * (y — yd y y 



c 2 (z — z x ) z z 



Dezelfde vergelijking vindt men uit (3) als men de stralencoör- 

 dinaten in de puntencoördinaten uitdrukt. De meetkundige plaats 

 der krommen cd 3 , ivelke door P x gaan, is dus de complexkegel van P x . 



In overeenstemming hiermede vindt men uit (6) voor v = const. 

 een rechte door P x , terwijl u = const. een kromme o> 3 door P 1 

 aanwijst. 



4. Uit het voorgaande volgt, dat alle bisecanten van een kromme 

 co 3 stralen van den complex zijn. Dit wordt nader bevestigd door 

 de berekening van de stralencöordinaten der bisecante (v, v'). Men 

 vindt uit (4) 



a 2 x (v' — v) 

 Fl (a 2 + v) (a 2 + i/)' 



b*c 2 y z (b 2 -c 2 )(v'-v) 

 p — _ — enz# 



Fa (b 2 + v) (c 2 + v) (b* + v') (c 2 + t>!)' 

 waaruit gereedelijk volgt 



a *PiP* + 6 *PiPï + c >3?6 = 0. 



5. De coördinaatvlakken en het vlak in het oneindige zijn de 

 hoofdvlakken van den complex. De complexkegel van een in een 

 hoofdvlak gelegen punt moet ontaarden. 



inderdaad vindt men uit (7) voor z x = Q de vlakken 2 = en 



(a« - c 2 ) y x x - (b 2 - o 2 ) x x y = (a 2 - b 2 ) x x y x ..... (8) 



In verband hiermede bestaat de kromme co 3 nu uit de hyperbool 



5 = 0, (a 2 — b 2 )xy -\-b 2 y x x — a 2 x x y — .... (9) 



