( 705 ) 



Ook £ behoort hiertoe. Immers, ligt P in ft dan behooren tot den 

 complex de stralen uit P naar den straal a, die overeenkomt met 

 de door P getrokken kromme b n . Alle overige complexstralen door 

 P liggen in ft daar zij allen een straal a en de toegevoegde kromme 

 b n snijden, dus n complexstralen vertegenwoordigen, ontaardt (P) in 

 het vlak a en het n-voudig gelegde vlak ft Dus is $ een n-voudig 

 hoofdvlah en bestaat het singuliere oppervlak uit een enkelvoudig 

 vlak, een ?z-voudig vlak en een kegel £ van den graad n(3n — 1). 



De complex bezit (;z 2 + n -\- 2) enkelvoudige hoofdpunten, nl. het 

 punt A, de if punten B h en de (n + 1) punten C/ c . 



§ 4. De dubbelpunten van tot een net behoorende krommen cp 

 liggen, zooals bekend is, op een kromme H van den graad 3 (p — 1), 

 de kromme van Hesse van het net, welke twee maal door elk vast 

 punt van het net gaat. Deze eigenschap kan op de volgende wijze 

 aangetoond worden. 



Men neemt een rechte / en een punt M willekeurig aan. De ö\ 

 welke / in L raakt, snijdt ML nog in (p — 1) punten Q. Daar de 

 krommen, die door M gaan, een bundel vormen, zoodat 2 (p — 1) 

 van hen / aanraken, gaat de m.pl. van Q 2 ( p — 1) maal door M r 

 is derhalve van den graad 3 (p — 1). Door elk van haar snijpunten 

 >S met / gaat een cp, die met elke der rechten / en MS twee in S 

 samenvallende punten gemeen heeft, dus een dubbelpunt dezer cp is. 



Bijgevolg is de m.pl. der dubbelpunten een kromme van den 

 graad 3 {p — 1). 



Gaat l door een basispunt B van het net, dan snijdt de bundel, 

 die door M bepaald wordt, op / een in volutie van den graad (p — 1) 

 in. Daar deze 2 (p — 2) coïncidenties L oplevert, is de m.pl. van Q 

 nu slechts van den graad (3p — 5). Dus vertegenwoordigt B voor 

 elke door dat punt getrokken rechte / twee snijpunten met de m.pl. 

 der dubbelpunten, is derhalve een dubbelpunt dier kromme. 



Raakt / in B x aan de kromme c/, welke in B l een dubbelpunt 

 heeft, en kiest men M willekeurig op deze kromme, dan hebben de 

 krommen van den door M aangewezen bundel in B x een vaste 

 raaklijn, en is B x een der coïncidenties der involutie van den graad 

 (p — 1). De m.pl. der dubbelpunten heeft dan in B x drie samen- 

 vallende punten met / gemeen ; zij heeft bijgevolg in B x dezelfde 

 raaklijn en als c x p. 



Voor het net JV n + l der in het vlak /S gelegen krommen c n + l ont- 

 aardt de meetkundige plaats der dubbelpunten H in de rechte a($ en 

 een kromme van den graad (3?z — 1). Immers «/? vormt met elke 

 kromme b een ontaarde kromme c n + l . 



