(750) 



Ten derde raken de beide krommen elkaar in elk bnigpunt dat 

 zijn raaklijn door O zendt. 



Ten vierde snijden zij elkander in de raakpunten van elke dubbel- 

 raaklijn, die door O gaat. 



Nu omhullen de buigraaklijnen van een bundel een kromme der 

 klasse Sn (n — 2). 1 ) 



Derhalve bedraagt het aantal der raakpunten van dubbelraaklijnen 

 door O 



(n — 2) (Sn — 1) (2n — 1) — (n — 2) (n + 1) — 2 (n— 2) n" —6n (n— 2) == 



= In [n — 2) (n — 3). 



Zte dubbelraaklijnen der tot een bundel behoorende krommen c n 

 omhullen een kromme van de klasse 2n (n — 2) (n — 3). 



§ 3. In navolging van Emil Weyr 2 ) beschouwen wij de kromme 

 c w+i W elke voortgebracht wordt door den bundei (c n ) met den daar- 

 aan projectief toegevoegden bundel der raaklijnen in een basispunt 

 B. Daar elke c n haar raaklijn nog in (?i — 2) punten snijdt, is B 

 een drievoudig punt der c"+ ! . Hieruit volgt gemakkelijk dat door B 

 (n -\- 4) (h — 3) raaklijnen aan c'H -1 kunnen getrokken worden. Even 

 zoovele dubbelraaklijnen van den bundel (c n ) hebben een hunner 

 raakpunten in B. 



Wij beschouwen nu de satellietkromme van B. Op eiken straal r 

 door B liggen 2 (n — 2) raakpunten T, dus 2 (n — 2) (n — 3) punten 

 'S. Valt r samen met een der zooeven genoemde dubbelraaklijnen, 

 dan ligt een der punten S in B. Dus is B een (n -|- 4) (n — 3)- 

 voudig punt op (S) en blijkt de graad van (S) gelijk te zijn aan 

 (n + 4) (n — 3) + 2 (n — 2) \n — 3) = 3n (n — 3). 



De tangen tiaalkrom me van B heeft in B een drievoudig punt; 

 immers een straal door B draagt slechts (2n — 4) punten T, terwijl 

 de kromme t van den graad (-2w — 1) is. 



Van de gemeenschappelijke punten van t 2n ~ l en $M»*— 3 ) liggen er 

 3 (n -\- 4) (n — 3) in B, 2 (n — 3) in elk der overige (?z 2 — 1) basis- 

 punten en twee in elk der buigpunten, die hun raaklijn door B zenden. 



Het aantal dier buigraaklijnen is 3^ (n — 2) — 9, daar elke der 

 drie buigraaklijnen, welke hun bnigpunt in B hebben, driemaal in 

 rekening moet gebracht worden. Dit blijkt uit de beschouwing van 

 een (c 3 ), waar een basispunt slechts op buigraaklijnen kan liggen, 

 waarvoor het zelf bnigpunt is. Nu bedraagt dit aantal drie, terwijl 

 de klasse der omhullende der buigraaklijnen negen is. 



1 ) Immers dit is het aantal der raaklijnen van t 2n ~ \ welke, afgezien van de w 2 

 raaklijnen OB, door O kunnen getrokken worden. 



2 ) Sitzungsberichte der Akad. in Wien, LXI, 82. 



