( 751 ) 



Voor het aantal der niet in B gelegen raakpunten van dubbel - 

 raaklijnen uit B vindt men dus 



3n(n—3) (2n— 1)— 3(n+4) [n— 3) — 2(n— 3) fa 2 — 1)— 6(n— 3) (w+1) = 

 = 4{n— '3).(n — 4)(rc-f 1). 



Derhalve ligt i> op 2 (n — 4) (n — 3) (w + 1) dubbelraaklijnen. 

 Dit aantal is 2 (n — 3) (ra -f- 4) minder dan het aantal dubbelraak- 

 lijnen uit een willekeurig punt. De (ra — 3) (ra + 4) dubbelraaklijnen, 

 die een van haar raakpunten in B hebben, moeten dus tweemaal in 

 rekening gebracht worden. 



De omhullende der dubbelraaklijnen heeft in elk basispunt een 

 (n -f- 4) (ra — 3)-voudig punt. 



§ 4. De meetkundige plaats van de raakpunten D der dubbel- 

 raaklijnen van (c") gaat blijkbaar (ra -\- 4) (ra — 3) maal door elk 

 basispunt (§ 3). Daar een willekeurige c n op hare dubbelraaklijnen 

 ra (ra — 2) (ra 2 — 9) raakpunten D heeft, snijden c n en de kromme (D) 

 elkaar in ra 2 (n -f- 4) (n — 3) + n {n — 2) {n 2 — - 9) punten. Bijgevolg 

 is de m.pl. der raakpunten D een kromme van den graad 

 (ra — 3)(2ra 2 + 5ra — 6). ') 



AVij zullen nu de m.pl. beschouwen van de punten W waarin 

 een c n door haar dubbelraaklijnen gesneden wordt. 



Daar elk basispunt B op 2 (n — 4) (ra — 3) (n -\- 1) dubbelraaklijnen 

 ligt (§ 3), gaat de kromme (TF) met evenveel takken door B. Zij 

 heeft dus met een willekeurige c n 2ra 2 (ra — 4) (ra — 3) (ra + !)-(- 

 + è n (n — 2) (n 2 — 9) (ra — 4) punten gemeen. Hieruit volgt dat de 

 kromme (TF) van den graad | (ra — 4) (n — 3) (5ra 2 -f- 5ra — 6) is. 



De krommen (D) en (1F) hebben buiten de basispunten een aan- 

 tal punten gemeen gelijk aan 



i (ra — 4) (ra — 3) 2 (5ra 2 -|- on — 6) (2ra 2 + 5ra — 6) — 

 — 2ra 2 (ra — 4) {n — 3) 2 (ra + 1) (ra + 4). 

 Hieruit volgt : 

 In een bundel (C) hebben 



\ (ra — 4) (n — 3) 2 (10ra 4 + 3w 3 — 21ra 2 — 80ra + 20) 

 krommen een buigpunt waarvan de raaklijn de kromme nog in een 

 ander punt aanraakt. 



§ 5. De meetkundige plaats der buigpunten l van (c) heeft een 

 drievoudig punt in elk basispunt en een dubbelpunt in elk der 

 3 (n — l) 2 dubbelpunten van den bundel. Hieruit vindt men terstond, 



v ) Zie P. H. Schouïe, Wiskundige opgaven, 11, 307. 



