( 752 ) 



dat de kromme (ƒ ) van den graad 6 (n — 1) en van de klasse 

 6 {n — 2} (4 n — 3) is l ). 



Bepalen wij thans den graad der m. pi. van de punten V, welke 

 een c n op haar buigraaklijnen insnijdt. 



Daar een basispunt B op 3 (n — 3) (n -f- 1) buigraaklijnen ligt, 

 gaat de kromme ( V) met evenveel takken door B. Met een wille- 

 keurige c n heeft ze derhalve 3?z 2 (n — 3) in -(- 1) -\- 3n (n — 2)(n — 3) 

 punten gemeen. 



Bijgevolg is ( V) een kromme van den graad 3(n — 3) (n* -f 2n — 2). 



De krommen (I) en ( V) hebben nu, buiten de basispunten om, 

 een aantal pnnten gemeen, dat voorgesteld wordt door 



18 (n — 1) O — 3) (n 2 + 2n — 2) — dn' (n — 3) (n -f J ). 



Deze punten kunnen slechts afkomstig zijn van het samenvallen 



van buigpunten met een der punten, welke zij met de betrokken c n 



nog gemeen hebben, dus van raaklijnen met vierpuntige aanraking. 



Daar zulk een undulatiepunt twee buigpunten vervangt, dus raakpunt 



van (/) en ( V) is, volgt hieruit : 



9 

 In een bundel (c n ) hebben — (n — 3) (n z + n s — Sn +4) krommen 



Li 



een undulatiepunt. 



§ 6. Laat een drievoudig oneindig lineair stelsel van krommen c n 

 gegeven zijn. 



De c n welke een rechte / in het punt P oscilleert, snijdt den door 

 het willekeurig gekozen punt O getrokken straal OP nog in (n — 1) 

 punten Q. 



De krommen van (c n ) 3 welke door O gaan, vormen een net (c n ) 2 , 

 dat / in de groepen van een involutie J 2 " snijdt. Daar deze 3 (n — 2) 

 drievoudige elementen bezit, gaat de m.pl. (Q) 3 (n — 2)-maal door 

 O, is derhalve van den graad (4?i — 7). 



Elk van haar snijpunten K met / is blijkbaar een dubbelpunt op 

 een kromme van (c"\, met / en OK als raaklijnen. 



Elke rechte is dubbelpuntsr aaklijn voor (4?2 — 7) krommen van het 

 stelsel. 



Hieruit volgt nu dat de m.pl. der dubbelpunten K, welke een 

 hunner raaklijnen door het willekeurig gekozen punt M zenden, een 

 kromme van den graad (4w — 5) is ; immers M is een dubbelpunt 

 van een c n , ligt dus op twee takken van (K). 



Elk punt K der willekeurige rechte / is dubbelpunt van een tot 

 (c n ) 3 behoorende kromme. De snijpunten M en M' van de raaklijnen 



!) Zie Bobek, Gasopis (Prag), XI, 283, 



