( 755 ) 



§ 4. Terugkeerendc tot bet regelvlak B (§ 2) beschouw ik de 

 snijpunten der ruimtekromme {B') met het vlak $. Elk snijpunt 

 van q. n met een in /? gelegen bnigraaklijn kan als het punt B, elk 

 de overige (n — 4) als een punt B' beschouwd worden. De kromme 

 (B') ontmoet 0» derhalve 3n (n — 2) (n — 3) (w — 4>maal op de buig- 

 raaklijnen van /?». In elk der overige snijpunten van {B) met [3 

 wordt <p n aangeraakt door een rechte die elders drie samenvallende 

 punten met (p n gemeen heeft. Ik noem zulk een rechte een raaklijn 

 £>,3, A haar osculatiepunt, B haar raakpunt. 



De raakpunten der raaklijnen Uj vormen een kromme van den 

 graad n (n — 2) (n — 4) (n* + 2h + 12). 



§ 5. In elk punt C der kromme y" volgens welke <p n door het 

 vlak y gesneden wordt, beschouw ik de (n — 3)(?i-\-2) raaklijnen c 

 die (p n nog in een punt C' aanraken. Op het regelvlak C der dubbel- 

 raaklijnen c is y n een veelvoudige kromme, langs welke (n — 3) (ft-f-2) 

 bladen elkaar doorsnijden. Daar elke in y gelegen dubbelraaklijn 

 twee rechten van C vertegenwoordigt, is de graad van dit regelvlak 

 gelijk aan n (n — 3) (n + 2) + n (n — 2) (n — 3) (n + 3) of 

 n (n — 3) (?2 2 + 2n — 4). 



n en C raken elkaar langs de m.pl. (C) der tweede raakpunten. 

 Van deze kromme bevat y de raakpunten der in y gelegen rechten 

 c benevens de punten C=C', waar een rechte c vierpuntige raaklijn 

 is. Derhalve bedraagt de graad van (C) n (n — 2) (n 2 — 9) + n (lln — 24) 

 of n ()z 3 — 2n 2 + 2n — 6). 



Behalve de dubbel te tellen kromme (C) en de 2(n — 3) (n + 2)- 

 maal te tellen kromme y n hebben C en <p n nog gemeen de m.pl. 

 der punten aS, welke de dubbelraaklijnen c op <p n insnijden. De kromme 

 (S) is van den graad ri 1 (n—3) (n 2 +2?2— 4) — 2n (n 3 — 2n"+2n— 6) — 

 2n (n — 3) (n + 2) of n (n — 4) (n z + n" — 4n -— 6). 



Tot de in y gelegen punten van (S) behooren de snijpunten van 

 y n met haar dubbelraaklijnen c. Daar elk der beide raakpunten van 

 c als het punt C kan beschouwd worden, zijn deze snijpunten S 

 dubbel in rekening te brengen. De overige n (n — 4) (n 3 -\-?i* — kn — 6) — 

 n (n — 2) (?z 2 — 9) (n — 4) in y gelegen punten S zijn blijkbaar oscu- 

 latiepunten van raaklijnen t 2} 3. Hieruit volgt dus: 



De osculatiepunten der hoofdraaküjnen, die cp n nog elders aanraken, 

 vennen een kromme van den graad n (n — 4) (3?z 2 -j- oyz — 24). 



De kromme (.4) en (B) welke door de osculatiepunten en raak- 

 punten der raaklijnen t 2) 3 gevormd worden, hebben de raakpunten 

 der vijfpuntige raaklijnen gemeen. Hiermee rekening houdende, vindt 

 men (door opnieuw uit een as / te projecteeren) voor den graad van 



52* 



