( 757 ) 



voudige raaklijnen welke n op de kromme ó n snijden, slechts het 

 derde deel van het aantal der bedoelde coïncidenties van (/), dus 

 gelijk aan 



i n ( n _4) {n— 5) {n— 6) \{n—2) (2n*+5n+3) — (n—l) (n+2) (n— S)\=± 



i n ( W _4) ( ?i _5) (72—6) (n 3 +3ft 2 — 2n— 12). 



Dit is tevens de graad der kromme (B) gevormd door de punten , 

 B, welke de drievoudige raaklijnen d nog met $ n gemeen hebben. 



Nu kan ook de graad x van het regel vlak (d) gevonden worden. 

 Daar dit regelvlak door Q l in de punten van (C) geraakt en in de 

 punten (B) gesneden wordt, heeft men nl. 

 nx = n {71—2) (n — 4) {n—b) (?z 2 +5?2+12) + 



i n (n—4:) (n—h) (n— 6) (?2 8 +3^ s — 2?i— 12). 



Hieruit vindt men : 



Be drievoudige raaklijnen van d n vormen een 7*egelvlak van den 

 graad \ n (n— 3) (n— 4) (n— 5) (?z 2 +3?z— 2) 1 ). 



§ 8. Om den graad der spinodale lijn te vinden, beschouw ik de 

 paren van hoofd raaklijnen a, a', waarvan het gemeenschappelijk raak- 

 punt A in het vlak a ligt. Worden twee stralen s en s' van een 

 waaier (S, o) aan elkaar toegevoegd, als ze op twee rechten a en a' 

 rusten, dan ontstaat in (S, o) een symmetrische verwantschap met 

 kenmerkend getal n (dn — 4). De coïncidenties kunnen tot drie 

 groepen gebracht worden. 



Ten eerste kunnen a en d denzelfden straal s snijden; hun ver- 

 bindingsvlak is dan raakvlak, hun snijpunt A ligt op het poolopper- 

 vlak van S. Zulk een straal s valt samen met twee van de aan 

 hem toegevoegde stralen s'. De eerste groep bevat dus n (n — 1) 

 dubbele coïncidenties. 



Ten tweede kan s de kromme a n snijden; ook dan valt hij met 

 twee stralen s' samen. De tweede groep bestaat dus uit n dubbele 

 coïncidenties. 



Ten slotte ontstaat een enkelvoudige coïncidentie, als a met a' 

 samenvalt. Het aantal dezer samen vallingen bedraagt blijkbaar 

 2n (3n — 4) — 2?i (n — 1) — 2n = 4?2 (n — 2). Hieruit volgt: 



Be parabolische punte7i vor7iie7i een 7 , ui7ntekroni7ne (spinodale lijn) 

 va7i de7i graad 4n (n — 2). 



a ) In Salmon-Fiedler staat op bl. 638 bij vergissing n 3 -j- 3 n -f- 2 in plaats van 

 W 2 + 3 n — % 



Op bl. 643 vindt men de afleiding van het aantal viervoudige raaklijnen en der 

 aantallen raaklijnen £ 4 , 2; £ 3 , 2 , 2 en £ 3 , 3 . 



