( 812 ) 



volgt te werk gegaan ; eerst becijfert men langs den weg van opeen- 

 volgende benadering de afstanden P 1 Z=r l , P 2 Z=1\, P z Z=r 3 

 uit de gegevens der waarnemingen, om vervolgens uit deze 3 afstan- 

 den, langs rechtstreekschen weg en zonder daarbij gebruik te maken 

 van de tusschentijden, de elementen der baan te berekenen. Uit de 

 verkregen ellips kannen dan als een toets op de nauwkeurigheid 

 der uitkomsten, de tusschentijden Aveer berekend en met de werkelijke 

 vergeleken worden. Bij volmaakte overeenstemming voldoet de gevon- 

 den ellips aan alle voorwaarden van het vraagstuk, maar in den 

 regel is het anders. De oorzaak hiervan is, dat men zich ter bereke- 

 ning van de afstanden r lt r 2 en r 3 bedient van benaderingsformules 



driehoek P X ZP^ driehoek P 2 ZP S 



om de verhoudingen — — — . _ .__ = n. en — — - ^^ = n x uit 

 ö driehoek P,ZP* driehoek P,ZP 9 



te drukken in de tusschentijden en de drie te zoeken afstanden zelf, 

 met verwaarloozing van termen van de 2 e , 3 e of 4 e orde der tusschen- 

 tijden. Er zijn namelijk voor n x en n s verschillende uitdrukkingen 

 voorgesteld, de eene door grooteren eenvoud, de andere door grootere 

 nauwkeurigheid zich aanbevelend, doch voor zoover mij bekend is 

 laten alle, in het algemeene geval van ongelijke tusschentijden, groot- 

 heden buiten rekening van de 4° orde der tusschentijden. 



De fouten in de berekende afstanden r lf i\ en r 8 en die in de 

 uit hen afgeleide baanelementen zijn in het algemeen van dezelfde 

 orde als de verwaarloozing toegelaten in de uitdrukkingen voor 

 n x en n z . 



Nauwkeurige en tegelijk eenvoudige uitdrukkingen voor n x en n 3 

 zijn gegeven door J. W. Gibbs l ). 



Het doel van deze mededeeling is, naar het denkbeeld van Gibbs, 

 voor n x en n 3 uitdrukkingen te ontwikkelen, die de termen van de 

 4 e orde insluiten; terwijl eene nieuwe afleiding voor de GiBBs'sche 

 verhoudingen zich daarbij voordoet. 



Zij in de gezochte ellips P de plaats van het hemellicht ten tijde 

 t, x en y hare rechthoekige coördinaten in het baanvlak met oorsprong 

 in de zon, en r = ZP, zoo voldoen x en y aan de onderstaande 

 differentiaalvergelijkingen : 



d?x x #< d 2 y y 



dë ~~ ~ 7*~ x d? __ ~~?~~ y 



'm welke vergelijkingen, in plaats van den tijd t, als onafhankelijk 

 veranderlijke r = k (t — t x ) is gesteld; t is dus de tijd, gerekend van 



l ) J. W. Gibbs, On the determination of elliptic orbits from three complete 

 observations. Memoirs of the national academy of sciences. Vol. IV, 2; p. 81, 

 Washington 1889, 



