( 471 ) 



afgeknotte viervlakken en vijf viervlakken tol op een derde der 

 ribben aan de hoekpunten afgeknotte regelmatige vijfcellen. De 14 

 vijfdimensionale grenspolvtopen zijn polytopen (60,150,140,60,12), 



als - (M 6 ), begrensd door zes (30,60,40,10) en zes (20, 40, 30, 10 y . 



1 Li 



Geval n = 8. Hier is (70, 560, 1120, 980, 448, 112, 16) de 

 uitkomst. De ribbenlengte is 5 / 2, alle zijvlakken zijn driehoeken. 

 De 980 grenslichamen bestaan uit 420 achtvlakken en 560 viervlakken, 



2 

 de 448 vierdimensionale grenspolvtopen uit 336 polvtopen — (M b ) 



5 



en 112 polvtopen - {M 5 ), d. i. uit 336 der reeds onder n = 6 ge- 

 



vonden tot op de helft der ribben afgeknotte vijfeellen en 112 vijf- 

 eellen. De 112 vijfdimensionale grenspolvtopen zijn voor de eene 



helft r (J/ G ) = (20, 90, 1'20, 60, 12) reeds boven gevonden, voorde 



Li 



andere helft - (J/J — (15, 60, 80, 45, 12) begrensd door zes tot op 



de helft der ribben afgeknotte vijfcellen en zes vijfcellen. Eindelijk 



3 

 zijn de 16 zesdimensionale grenspolvtopen als - (J/ 7 ) polytopen 



(35, 210, 350, 245, 54, 84) begrensd door zeven (20, 90, 120 ? 60, 12) 

 en zeven (15, 60, 80, 45, 12). 1 ). 



Uit dit alles leidt men nu gemakkelijk de volgende algemeene 

 wetten af: 



,,De hoekpunten der doorsnee zijn voor even n hoekpunten, voor 

 oneven n middens van ribben van M n ; ze zijn steeds onderling 

 gelijksoortig -)." 



,,De gemeenschappelijke lengte der ribben is 1/2 voor even n en 



1 

 — [/2 voor oneven n; ze zijn steeds onderling gelijksoortig 8 )." 



Li 



1 ) Waren we bij de opsomming der uitkomsten in dien zin omgekeerd te werk 

 gegaan, dat we bij elke nieuwe waarde van n van de grenspolvtopen met het 

 grootste aantal afmetingen tot de hoekpunten afgedaald waren, dan zouden we een 

 meetkundige variant van het bekende kinderboekje : „het huis van Adriaan" ge- 

 leverd hebben. Doch echter met twee verschillen. Bij het afdalen van telkens een 

 tree hooger van de ladder doorloopen we om den anderen weer dezelfde stadia 

 en de ladder is een Jacobsladder met oneindig veel treden. 



2 ) Dit wil zeggen, dat er in elk hoekpunt evenveel ribben op dezelfde wijs samen- 

 komen, enz. 



:3 ) Schijnbaar maken de gevallen n = oneven hierop een uitzondering, wijl bij de 

 afgeknotte viervlakken twee soorten van ribben voorkomen n.1. doorsneden van 

 twee zeshoekige vlakken en doorsneden van een zeshoekig en een driehoekig zijvlak. 

 Dit is echter maar schijn. Want voor elke ribbe is in de doorsnee zelf steeds 

 weer het aantal er doorgaande zijvlakken van elk der beide soorten standvastig, 

 zoo bij n = o twee zeshoekige zijvlakken en een driehoekig. 



