( 474 ) 



voor n = 4, waarbij M n ^\ een kubus wordt, van den kubus een 

 rhoniboëder maakt, ontstaat in het algemeen uit Al n —\ wat wij een 

 rhombotoop noemen. Even als het rhoniboëder als geheel beschouwd. 

 in zich zelf overgaat als het 120° om de as gedraaid wordt, of — 

 anders gezegd - - even als de as van liet rhoniboëder een periode 

 drie heeft, heeft de as van het bedoelde rhombotoop een periode 

 n — 1. Denken we ons nu dit rhombotoop voor het bepaalde geval, 

 dat de projectie der snijdende ruimte R n —\ - en dus ook de 

 projectie van het rhombotoop zelf - langs (JA valt, en stompen 

 we dit af door de twee ruimten È n —2 , die in de uiteinden A, A' 

 van het binnen den rechthoek PP' Q' Q gelegen segment AA' dier 

 projectie loodrecht op het projectievlak staan en de as van het 

 rhombotoop dus loodrecht snijden, dan ontstaat de gevraagde door- 

 snee, die we naar het aantal harer afmetingen door T> n —\ zullen 

 aanduiden. We bepalen aanstonds de aslengte van het onafgestompte 

 rhombotoop en van D n —\ , doch leiden alvorens eenige algemeene 

 stellingen af, die nu voor liet grijpen liggen. 



5. De ribben van M n projecteeren zich op het aangenomen vlak 

 of langs een der n lijnen PQ, P^Q 1 , P 2 Q 2 , ■ • • P n _2Ö w — 2 ; P' ' Q' ', of 

 als deelen van PP' of QQ' . Wijl nu de hoekpunten van D n -\ 

 hoekpunten van M n of snijpunten met ribben van M n moeten zijn, 

 projecteeren deze punten zich — vergelijk fig. 1 voor n = 8 

 en n = 9 — voor even n uitsluitend in de uiteinden A, A' , voor 

 oneven n uitsluitend in die uiteinden en in het midden O. 



Hieruit volgt voor n = 2n' de algemeene stelling : 



,,De doorsnee D-2 n '-\ van ÜA 2 h' is een 2n' — 1-dimensionaal pris- 

 moïde met betrekking tot elk paar overstaande grensruimten B^n'—^ 

 en dus op 2n' wijzen." 



Ziehier nog twee stellingen, die voor willekeurige n gelden : 



,,Elke lijn door het middelpunt O loodrecht op twee overstaande 

 grensruimten R n —2 aangebracht is as van A*— i niet de periode n — 1." 



,,Elke ruimte P n -2 door O evenwijdig aan een grensruimte 74—2 

 aangebracht verdeelt D n —\ in twee congruente n -- 1-dimensionale 

 prismoïden." 



Bij deze drie stellingen speelt de volkomen gelijkwaardigheid van 

 een paar overstaande grensruimten R h ~2 met elk ander paar een 

 hoofdrol, terwijl de derde ons doet vragen, hoe de ruimte R n — 2 door 

 het middelpunt evenwijdig aan een grensruimte aangebracht D n \ 

 snijdt. We bewijzen als volgt, dat deze doorsnee een Z)„_ 2 is. 



Draait cle projectie / der snijdende ruimte R n —\ om O, dan blijft 



de in O op liet projectievlak loodrecht staande ruimte Rn—2 op haar 



