( 476 ) 



„Men verkrijgt de doorsnee D n —\, als men het maatpolytoop M n . 1 

 op de aangeduide wijze door uitrekking in de richting van een 

 diagonaal tot op V /?.-maal de oorspronkelijke lengte in een rhombotoop 

 met een aslengte Vn (n — 1) doet overgaan en dit rhombotoop door 

 twee ruimten R n —2 loodrecht op de as tot een 



— 2 



Win. 



Vu (n — I ), 



2 (?i — 1) 



afknot." *) 



III. Nadere verklaring van het verband van D n —\ niet 

 regelmatige en regelmatig af geknotte simplexen. 



7. We beschouwen in de ruimte R n een rechthoekig coördinaten- 

 stelsel met een willekeurig punt tot oorsprong en OX 1 ,OX 2 ,...OX n 

 tot assen en noemen nu het een 2 nde deel dier ruimte, dat cle meet- 

 kundige plaats is van het punt met louter positieve coördinaten het 

 „?? -been (X 1 X 9 . . . X n )". 



Zijn A, A' twee overliggende hoekpunten van een maatpolytoop 

 M n van R„ en AA X , AA t , . . . AA n de door A gaande ribben, A'A\, 

 A'A\, . . . A' A' n de aan deze evenwijdig doch tegengesteld gerichte 

 ribben, dan is M n te beschouwen als het deel der ruimte R n gemeen 

 aan de twee ?z-beenen A (A x A 2 . . . A„) en A' (A\ A\ . . . A' '„). 



Snijden we deze figuur der twee tegengesteld georiënteerde n-beenen 

 en het aan beide gemeenschappelijke maatpolytoop M n door een 

 willekeurige ruimte R n —\ , dan worden de beide ?2-beenen volgens 

 twee tegengesteld georiënteerde simplexen gesneden en verschijnt de 

 doorsnee van M n met die ruimte R n \ als het deel dier ruimte, dat 

 tegelijkertijd door de beide in die ruimte liggende simplexen wordt 

 ingesloten. Als cle gekozen ruimte loodrecht staat op de diagonaal 

 AA' , die de toppen der n-beenen vereenigt, zijn de simplexen regel- 

 matig en hebben zij het snijpunt P van de snijdende ruimte R n —\ 

 met AA' tot gemeenschappelijk zwaartepunt. Dus geldt de algemeene 

 stelling : 



J ) Deze stelling doet duidelijk zien, waarom de doorsneden vam een achtvlak 

 door vlakken evenwijdig aan twee zijvlakken identiscli moeten zijn met die van 

 een kubus door vlakken loodrecht op een diagonaal in punten van het middelste 

 derde gedeelte dier lijn. Om in andere woorden nog eens hetzelfde te zeggen : 

 Kapt men van een kubus met de eenheid van ribbe twee overstaande hoeken af 

 door vlakken loodrecht op de verbindingslijn in de punten, die deze diagonaal in 

 drie gelijke deelen verdeelen, en drukt men een achtvlak met ribben |/2 in de 

 richting der loodlijn op twee evenwijdige zijvlakken tot op de helft der dikte samen, 

 dan doet men op twee verschillende wijzen hetzelfde lichaam ontstaan. 



