( 477 ) 



,,De doorsnee van M„ met een ruimte R n —\ loodrecht op een 

 diagonaal is steeds te beschouwen als een deel dier ruimte R n —\ 

 door twee bepaalde concentrische, tegengesteld georiënteerde, regel- 

 matige simplexen dier ruimte ingesloten." 



Willen we van deze stelling partij trekken, dan moeten we de 

 lengte der ribben dier tegengesteld georiënteerde regelmatige simplexen 

 met gemeenschappelijk zwaartepunt nader bepalen, 



8. Denkt men zich de snijdende ruimte R n —\ loodrecht op de 



diagonaal AA' in het eerste deelpunt A x , op een afstand --[/nvaxi 



n 



A gelegen, dan is de doorsnee een simplex met de ribbe |/2. Dus 



hebben de beide simplexen, die ontstaan als een willekeurig punt P 



van AA' het punt A 1 vervangt, ribben ter lengte van AP\/2n en 



A / P\ / 2n, weshalve wij ze, mede naar het aantal hoekpunten, door 



S H (AP\ /C ïn) en S' n (A'PVÏn) aanduiden. Dus geldt de stelling: 



,, Schuift men een Mn, waarvan de diagonaal AA' loodrecht op 

 een gegeven ruimte R n —i staat, in de richting dier diagonaal door 

 die ruimte R n —\ heen, zoodat de ruimten 7i.,_i der grenspolvtopen 

 J/„_i zich evenwijdig aan zich zelf bewegen, dan is de doorsnee van 

 R K —\ met het zich bewegende polytoop M n op ieder oogenblik het 

 deel dier ruimte R n —\, dat besloten is binnen twee concentrische 

 doch tegengesteld georiënteerde regelmatige simplexen S n (p\ / 2ri) en 

 S'n (p' V^n), waarbij p en p' zoo samenhangen, dat de som p -\- p' 

 gelijk is aan \/n. Gedurende die beweging van \l n blijft het gemeen- 

 schappelijk zwaartepunt der beide simplexen op zijn plaats en bewegen 

 de ruimten 24— 2 der grenssimplexen S n —\ en >S"„— 1 zich evenwijdig 

 aan zich zelf; terwijl S n zich van dit gemeenschappelijk zwaarte- 

 punt tot een simplex S n (n\/2) uitbreidt, krimpt S'n omgekeerd van 

 een simplex >S v n (n |/2) tot dit punt samen". 



Op het oogenblik, dat dit proces zich tot op de helft heeft afge- 

 speeld en de beide simplexen even groot geworden zijn, vinden we : 



,,De doorsnee Z) ?J _i is het deel der snijdende ruimte R n ^-\ inge- 

 sloten door twee bepaalde gelijke concentrische, doch tegengesteld 



georiënteerde, regelmatige simplexen S,i -~n 1/2 j en S' n ( 7- n K2 j ." 



Zoo is voor n = 3 de regelmatige zeshoek met zijden - \ /i l de 



o ' J 2 



figuur ingesloten door twee driehoeken met zijden — [/2 — denk 



aan het bekende fabrieksmerk — , zoo is voor n = 4 het regelmatig 

 achtvlak met ribben |/2 de figuur ingesloten door twee viervlakken 



