( 478 ) 



mét ribben 2 J/2 — denk aan de twee in een kubus beschreven 

 viervlakken en het achtvlak aan beide gemeen. Zoo wordt in het 

 algemeen het vraagstuk in de ruimte met n afmetingen teruggebracht ' 

 tot een ander vraagstuk in de ruimte met n — 1 afmetingen en tevens 

 het verband van de uitkomst met regelmatige simplexen verklaard. 

 Denkt men zich het simplex S n wit en het simplex S' n zwart, 

 dan zullen de n grensruimten 74—2 van Z) n — ï afkomstig van S n wit, 

 die afkomstig van S' n zwart zijn. Hieruit volgt, dat het mogelijk 

 moet zijn de 2n grensruimten R n 2 van D n —\ derwijze om en om 

 wit en zwart te kleuren, dat twee tegenoverstaande grensruimten 

 R n -2 verschillende kleur dragen. Werkelijk is het achtvlak het 

 eenige der regelmatige lichamen, dat deze bewerking toelaat. l ) 



9. Als het simplex Sn zich uitbreidt van een punt tot een S n (n]/2) 

 en terzelfder tijd S' n zich inkrimpt van een S' n (n)/2) tot éénpunt, 

 ligt bij het begin van het proces S n binnen S' n en aan het eind 

 omgekeerd S'n binnen S n . Gaandeweg zijn daarbij dan eerst de 

 hoekpunten, daarna de ribben, vervolgens de zijvlakken, enz. van 

 >S„ naar buiten getreden. We onderzoeken thans, wanneer dit geschiedt. 



Uit de diagrammen van de uitslaande plaat is gebleken, dat de 

 doorsnee van M n met een ruimte R n —\ van karakter verandert 

 als het snijpunt P dier ruimte R n —\ niet de diagonaal AA' een 

 der n—A deelpunten A 19 A a , . . . passeert. Wijl nu het karakter 

 der doorsnee natuurlijk ook verandert, als er binnen S'n gelegen 

 begrenzingselementen van S n naar buiten treden, moet dit laatste 

 plaats vinden op de oogenblikken, waarin die deelpunten der diago- 

 naal AA' van liet zich voortbewegende M n door de vaststaande 

 ruimte 24— i gaan. Werkelijk geldt dan ook de stelling: 



„Bij de translatie van M n in cle richting van AA' door de ruimte 

 R n —\ heen treden achtereenvolgens de hoekpunten, ribben, zijvlakken, 

 grenslichamen, enz. van S n geheel buiten S' n op de oogenblikken, 

 dat het snijpunt P der diagonaal AA' met de ruimte R n —\ achter- 

 eenvolgens met de deelpunten A x , A^, A z , A 4 , enz. samenvalt. 



We beschouwen — ten einde deze stelling te bewijzen — het 



] ) Hiertegen schijnt te strijden, dat er voor n — 5 door elke ribbe drie zijvlakken 

 gaan en om deze ribbe dus drie grenslichamen (12, 18, 8) liggen. Deze tegenstrij- 

 digheid is echter slechts schijnbaar ; zij wordt opgeheven door de opmerking, dat 

 twee grenslichamen (12, 18, 8), die een zijvlak gemeen hebben, in kleur overeen- 

 stemmen of verschillen, naarmate het zijvlak driehoekig of zeshoekig is. Van de 

 drie zijvlakken is er een driehoekig, zijn er twee zeshoekig ; het grenslichaam, 

 waartoe de twee zeshoekige zijvlakken behooren, verschilt in kleur van de beide 

 anderen, die in kleur overeenstemmen. 



