( 479 ) 



willekeurig stadium der simplexen S n (AP\/2n) en S' n (A!I\/.2ri), ver- 

 deelen de n hoekpunten van S n op willekeurige wijs in twee groepen 

 p? en 7 van p en 7? — p punten, duiden door fi' en 7' de groepen der 

 p en >z — J? overeenkomstige hoekpunten van S' n aan en stellen door 

 B, C, B', C' (tig. 2) de zwaartepunten der puntgroepen ft 7, /i', y' 



C' B P B' C 



Fig. 2. 



— d. i. de middelpunten der grenssimplexen S p , S n - } » S' ,„ S' n — P niet 

 deze punten tot hoekpunten — voor. Daarbij liggen de vijf punten 

 B, C, B\ C\ P dan zoo op een zelfde rechte, dat B en C' zich aan 

 de eene, B' en C zich aan de andere zijde van P bevinden en 

 men heeft 



p BP= (n p) PC j AP __ BP _ CP 

 (n-p) CP = p .PB' \' PA' ~' PB' ~~ PC' ' 



We kunnen nu beweren, dat het grenssimplex S p der hoekpunten fi 

 van S n nog geheel of gedeeltelijk binnen S' n ligt als B zich tusschen 

 C' en P bevindt, terwijl S p geheel buiten S n ligt als C' zich tusschen 

 B en P bevindt. Anders gezegd : bij het aangroeien van AP treedt 

 het grenssimplex S P van S n geheel naar buiten als B met C' samen- 

 valt en de ruimten R p —\ en 7i ) ,,_ /; _i van S p en S' n — p , die elkaar in 

 het algemeen volkomen loodrecht kruisen, incident worden door dat 

 ze het punt B = C', dan gemeenschappelijk zwaartepunt, tot snijpunt 

 verkrijgen. Onder de voorwaarde BP=C'P J volgt nu uit de ver- 

 gelijkingen 



BP n—p PC __AP 

 ~PC~ ~p~ ' C r P = PA' 

 de betrekking 



(n-p) AP — p .PA', 



welke leert, dat P met het p de deelpunt A p van AA samenvallen 

 moet. 



10. Valt P met A p samen, dan hebben de ruimten R h _ x en 

 R n —p—] van S P en S'n—pt zoo als we boven zagen, het gemeenschap- 

 pelijk middelpunt van S p en £'„_,, gemeen. Wijl dit snijpunt van 

 S„ en S'n— p hoekpunt der doorsnee wordt, geldt - - als we deze 



doorsnee in verband met vorige beschouwingen weer '- (M n ) noemen 



de stelling: 



