(485) 



4. Het zou kunnen schijnen, dat men uit de regelmatige cellen 

 nog andere paren van nieuwe cellen zou kunnen afleiden door voor 

 de uiteinden F der assen OF hetzelfde te doen, wat boven vóór 

 de punten K a gedaan werd. Dit is echter niet het geval. Want bij 

 elke regelmatige cel vormen de middelpunten F der zijvlakken de 

 middens K der ribben van een andere regelmatige cel, die bij de 

 met zichzelf dualistisch verwante cellen C 5 , C 24 een cel van dezelfde 

 soort, bij de paarsgewijs met elkaar verwante cellen {C 8 , G\ J, (6 r 120 , C' 600 ) 

 telkens een dualistisch verwante cel is. En, zoo als onmiddellijk blijkt, 

 kunnen de puntgroepen E en 7? evenmin tot nieuwe uitkomsten 

 voeren. 



We besluiten deze algemeene beschouwingen met de opmerking, 

 dat de beide uit de regelmatige cel (e, k,f, r) afgeleide cellen veel 

 regel mat igs vertoonen. Van de eerste zijn de hoekpunten en ribben, 

 van de tweede zijn de zijvlakken en grenslicbamen onderling gelijk- 

 soortige elementgroepen, terwijl de zijvlakken en grenslicbamen van 

 de eerste en de hoekpunten en ribben van de tweede uit twee onder- 

 groepen bestaande elementgroepen vormen. Leveren deze nieuwe 

 cellen voor niet geheel regelmatige polytopen het summum van regel- 

 maat ? We wenschen hier op dit punt niet nader in te gaan, aan- 

 gezien het Wiskundig Genootschap te Amsterdam voor 1908 een 

 prijsvraag uitschrijft omtrent wat men onder ,,halfregelmatige poly- 

 topen" heeft te verstaan. 



5. Het volgende tabelletje geeft de uitkomsten aan, die men ver- 

 krijgt door invulling der waarden van e, k,f,r,p, q voor de vijf ver- 

 schillende gevallen. Volledigheidshalve zijn daarin ook de grootheden 

 opgenomen, die aanwijzen hoeveel hoekpunten er liggen in zijvlak 

 en grensruimte. Daarbij moet dan worden opgemerkt, dat de eerste 

 nieuwe cel tweeërlei zijvlakken en grenslichamen beeft, zoodat we 

 genoodzaakt zijn vier nieuwe grootheden in te voeren en wel de 

 aantallen hoekpunten S x en 7\ in zijvlak en grenslichaam van de 

 eene, de aantallen hoekpunten >S 3 en 7\ in zijvlak en grenslichaam 

 van de tweede soort. Hierbij zullen dan S. en T % betrekking hebben 

 op de afknottende lichamen met zijvlakken van dezelfde soort en 

 S l en T x slaan op de afgeknotte lichamen, waarbij men dan wat 

 >S\ betreft die zijvlakken nemen moet, die de afgeknotte lichamen 

 onderling gemeen blijven hebben. Evenzoo moeten dan voor de 

 tweede cel met tweeërlei hoekpunten en ribben de vier nieuwe 

 grootheden P/, P 2 ', Q t ', Q 2 ' worden ingevoerd. Zoo als gemakkelijk 

 blijkt, is T x — Q x ' = k', terwijl T t = Q % ' het aantal hoekpunten is 

 van het regelmatige polyeder met q zijvlakken. 



