( 540 ) 



Deelen we beide leden van (V,a) door u°, en voegen er bij { V,b), 

 dan vinden we : 



dz 2v du 



dij Qi(v — u) 2 di( 

 Uit (2 V,d) volgt : 



du dz dv dz d 2 z 



^'^"^'^^^"^^^^""^V uv J2i"dfd n 



dz 

 Door hierin — te substituëeren, vinden we : 



h 



dz 2u dv 



dg Qi(v-uy d§ 



We kunnen thans, uit {III), het volgende stel vergelijkingen op- 

 schrijven : 



d,v 1 / 1\ dz — (u 2 — 1) dv 



u — 



dg 2 V uj dg Qtfa— wj" dg 



da; 1 / 1\ d* v 2 — 1 da 



v — 



dr^ 2 \ v J di\ Qi(v — uf dt\ 



dij __ 1 / 1 \ d^ _ u 2 + 1 do 



dj ~ S V + u) ' dg = " Q( V -tO* ' dg 



d#__ 1 / 1\ dz _ -(^ + 1) dw 



(FY) 



d?^ 2i V l ' J dij Q(v—u)' z dij 

 dz — 2u dv 



dg Qifo-^t*)' dg 



d^ 2t? dw / 



di] Qi(v — u) 2 dij 



Zoodra dus u en v bekend zijn, is het vraagstuk opgelost. 



§ 3. Orn thans de vergelijkingen, waaraan u en v moeten voldoen, 

 neer te schrijven, kunnen we gebruik maken van (7 V) en ( VI), 

 of we kunnen gebruik maken van de voorwaarden van integrabiliteit. 



{IV,a) geeft : 



du dz — 2u dv du 2v f 2 da du 1 d 2 ?^ 



di} ' dg iQ(v— uf ' dg di] iQ\(v— u) 2 dg dij v — ud$dn 



(IV, b) geeft: 



du dz — 2u dv du 2u f 2 du du 1 d 2 u 



• ^ • ." + ^ 



dr} dg iQ(v — u) 2 dg dr t iQ\(v—u) 2 d§ dij v—u didi] 

 Uit ( VI) vinden we : 



