( 3*4 ) 



Duidelijk is, dat aan vergel. (IX) voldaan wordt, wanneer 

 /i © = /i M =? °» dlis wanneer Z> = £>" — (§ 4). 



Het verdient opmerking, dat, wanneer u — <p (?^) en u = xf> (g) ge- 

 substitueerd worden in de vergel. voor F, deze vorm een oplossing 

 wordt van 



H> d / 1 ÖZ 



en dit klopt dus volkomen, omdat we hier met de diff. vergel. van 

 Liouville te doen hebben. Trouwens het vraagstuk der oppervl. met 

 const. gem. kromming leidt altijd tot een uitgebreide vergelijking van 

 Liouville, zooals (IX), hoe het ook wordt aangepakt. 



Dat we bij deze oplossing werkelijk met een bol te doen 

 hebben, moet uit (VI) volgen. Deze vergelijkingen geven voor 

 u — (p fa) en v = xp (g), 



1 V -f- u 



Qi v — u 



1 uv — 1 



Qi v — u 



1 uv + 1 



de welbekende formules voor den bol in minimaal coördinaten. 

 We vinden : 



1 4 



2 



d. i. een bol met straal — : , zooals noodzakelijk is. 



Nu het bijzondere geval f x (§) = ,/ 3 (^) = beschouwd is, kunnen 

 we beide functie's = I stellen door het invoeren van nieuwe functie's 



/i (5) = ëi en /; fa) = i^, 

 die we weer door £ en i\ zullen aanduiden. Dit is van groot belang, 

 indien eventueel de oplossing der vergel. (VII) zou gevonden worden. 



§ 7. We kunnen thans de vraag stellen, of de vergel. {Vil) op- 

 gelost kunnen worden door ü=f{v) te stellen, waar ƒ voorloopig 

 willekeurig is. 



Uit ( Vil ) laat zich afleiden : 



d'v d'u 



__^_i_ _) *_L — o, 



öv dv du du 



ö§ ' dr] ög ' dij 



