( 568 ) 



plaats een astroide op de assen IA en IB. De hyperbool A 2 blijft 

 rakende aan den onveranderlijken cirkel, die TP tot straal beeft; 

 de astroide is dus de meetkundige plaats der middelpunten van de 

 gelijkzijdige hyperbolen met asymptootrichtingen IA en IB, gaande 

 door I en rakende aan laatstgenoemden cirkel. 



De beide middellijnen IA en IB van cirkel I vormen met de 

 rechte in het oneindige een pooldriehoek van den cirkel; de punten 

 C hebben alzoo de beteekenis van polen van een der zijden van 

 dien pooldriehoek. Het is te bewijzen, dat de meetkundige plaats der 

 polen van de beide andere zijden ten opzichte van a 3 eveneens de 

 nu gevonden astroide is. We construeeren daartoe de pool van IX. 



Nemen we als middelpunten van de projectieve stralenbundels, 

 die / 3 doen ontstaan, het punt I en het oneindig ver verwijderd 

 punt van IX, dan ligt op grond der vroegere redeneering de pool van 

 IX op de evenwijdige door B aan IP getrokken ; tevens ligt deze 

 pool op een evenwijdige uit C aan IX getrokken, het snijpunt D 

 der laatstgenoemde rechten is dus de gevraagde pool. Daar D sym- 

 metrisch is met C ten opzichte van 1Y> behoort D alzoo tot de 

 astroide. Op dezelfde wijze bewijst men, dat de pool van IY even- 

 eens een punt der astroide is. 



Door projectieve transformatie kan het bovenstaande vraagstuk in 

 het volgende worden omgezet : 



Gegeven zijn een kegelsnede en een daarbij behoorende pooldrie- 

 hoek. De meetkundige plaats bepalen der polen van de zijden van 

 dien driehoek ten opzichte van het stelsel kegelsneden, gaande door 

 de hoekpunten en rakende aan de oorspronkelijke kegelsnede. 



Beschouwt men dit als een op zich zelf staand vraagstuk, dan ver- 

 krijgt men de volgende stelkundige oplossing : 



Neem den pooldriehoek al» coördinatendriehoek, dan kan de ver- 

 gelijking van de gegeven kegelsnede worden geschreven : 



«iV + V, 2 + a 8 # 3 2 = , (1) 



en die van de kegelsnede om dien pooldriehoek beschreven : 



2v*v? 8 + p,«,« 1 + ;w, = 9 • ..... (2) 



Voert men de voorwaarde in, dat (2) aan (1) raakt, dan moeten 

 de coëfficiënten der laatste voldoen aan de betrekking : 



(a } p* + a,p,* + a sP ;~)* = 27a 1 a 2 a 3 p 1 > 2 > J$ 2 . 



De pool van een der fundamenteele zijden, b.v. van % z = 0, vindt 

 men door in te voeren : 



Pi = — Pt— '•> P* = —Pi- 



CC m X , 



