( 570 ) 



(M) twee standen kan geven, zoo dat een dezer raaklijnen door C 

 gaat, alzoo zijn er twee parabolen bij het stelsel. Uit de figuur blijkt, 

 dat de hoek van AC met AO een waarde moet hebben: 



sm w ±= — . 

 ^ 3 



Hieruit volgt: Voor alle waarden van /_ ACO, welke gelegen zijn 



. 1 

 tasschen de waarden <p = bg sm — , zoowel aan de eene als aan de 



andere zijde van CO, wordt X* een hyperbool, voor alle waarden 

 buiten die grenzen wordt X* een ellips, de overgang tusschen de 

 ellipsen en de hyperbolen wordt door twee parabolen gevormd. 



De meetkundige plaats der middelpunten van dit kegel sneden- 

 stelsel wordt geen eenvoudige kromme. Eenvoudiger worden de 



meetkundige plaatsen der polen van 

 de middellijn Op en de loodlijn uit O 

 daarop gericht, die we bij de bereke- 

 ning als assen kunnen aannemen. 



Zij alzoo (fig. 4) Op de Xas, de 

 loodlijn OY daarop de F"-as, dan 

 vindt men de vergelijking van X* als 

 volgt : 



Stel OA = a, /_ ACfi = (f, alzoo 

 /_AO$= 2<f. Daar Xr door O,/?, gaat 

 en cirkel (O) raakt in P, zoo kan 

 haar vergelijking worden geschreven : 



y'x cos 2cp + V s in %<P + «) + m {y~ x t 9 %<p) {y — x ty <P + a tg <f) = ; 

 de coëfficiënt m wordt bepaald door de voorwaarde, dat het punt y 

 ( — a cos* (f, — a cos <p sin <p) op X* ligt. Bij substitutie van de coör- 

 dinaten van y voor x en y en na herleiding verkrijgt men : 



m r= cos <p cos 2ip sin (f ; 

 en de vergelijking van X* wordt : 



sin* (f sin 2<p . x* --(- (cos 2(f — cos ff sin <p sin 2tp — sin 2 (f cos 2<p) xy -f- 

 (sin 2ip -f- cos (f sin <p cos 2(p) y* -\- a(\ -f- sin 2 (f cos 2<p) y — asin* ff sin 2<p . # — : 

 of wel korter : 



(f . x* -f- cos <P (^ cos 2 (f — 3) xy 







sin <p (3 — 2 sin* (f) y* — 2a sin 7, <p . x-\- acos(p(3 — 2 cos i (f) y 

 De drie afgeleide vergelijkingen worden : 



4 sin 1 <p . x -{- cos (f (4 cos* <p — 3) y — 2a sin* <p = 0. . . (1) 



cos (f (4 cos* <p — 3) x-\-2 sin y(3 — 2 sin* q,) y -f- a cos <f (3 — 2 cos* <p) = 0. (2) 



2 sin s (p . x — cos (f (d — 2 cos* <p) y ■=. (3) 



