( 624 ) 



projecteeren we alle hoekpunten, ribben, zijvlakken, grenslichamen 

 der cel C 8 op de middellijn loodrecht op elk der zes reeksen van 

 ruimten om hieruit de doorsneden tabellarisch af te leiden; ten tweede 

 geven we de doorsneden zelf in evenwijdige perspectief in de achtcel 

 aan. Aan elk dier twee nauw samenhangende handelwijzen is een 

 uitslaande plaat gewijd. 



Ter bevordering der eenvormigheid duiden we de assen O E, OK, 

 01, OR door haar uiteinden (1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), 

 (1, 0, 0, 0) aan. We hebben dan achtereenvolgens met de zes reeksen 

 (1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0), (3,1,1,1), (2,1,1,0) 

 te doen en moeten nu voor elk dier zes gevallen de beide deelen 

 onderzoeken, waarin het vraagstuk zich boven splitste. 



2. Het geval (1,1,1,1). — Dit geval is, wat het eerste deel van 

 het vraagstuk betreft, volledig opgelost in een vorige studie ( Ver- 

 slagen, December 1907, blz. 467). Vandaar, dat het eerste gedeelte 

 der eerste plaat met het opschrift (1,1,1,1) OE 8 een uitbreiding is 

 van het eerste diagram n = 4 der toen gegeven plaat. Ten einde in 

 de gelegenheid te zijn bij de projecties van alle grenselementen 

 tevens de projecties der hoekpunten dezer elementen aan te wijzen, 

 waardoor het inzicht in de ruimtefiguur aanmerkelijk wordt bevor- 

 derd, zijn hier de aantallen der ribben, zijvlakken, grenslichamen 

 buiten het schema, ter rechter zijde, aangegeven. Bovendien zijn 

 hier de doorsneden van de achtcel met de overgangsruimten en de 

 intermediaire ruimten loodrecht op de diagonaal van projectie tabel- 

 larisch vermeld ; daarbij is gebruik gemaakt A^an een vroeger ( Ver- 

 handelingen, deel IX, n°. 4) ten voeten uit ontwikkelde methode, 

 die ons van elke doorsnee niet alleen de kenmerkende getallen 

 (e,k,f) maar ook den aard der zijvlakken kennen doet. Zoo is de 

 centrale doorsnee een (6,12,8), omdat ze 6 hoekpunten bevat en 

 geen ribben snijdt, 12 zijvlakken snijdt en geen ribben bevat, 8 

 grenskuben snijdt en geen zijvlakken bevat ; deze doorsnee is een 

 regelmatig achtvlak, in verband waarmee elke kubus der beide vier- 

 tallen van begrenzende lichamen volgens een gelijkzijdigen driehoek 

 van dezelfde grootte gesneden wordt. Zoo is de naburige interme- 

 diaire doorsnee een (12, 18, 8), omdat er 12 ribben, 18 zijvlakken, 

 8 grenskuben gesneden worden, en wel een regelmatig aan de hoek- 

 punten afgeknot viervlak, n.1. het eerste der halfregel matige Archi- 

 medische lichamen ( Verslagen, blz. 470), omdat vier der grenskuben 

 volgens regelmatige zeshoeken, de vier overigen volgens gelijkzijdige 

 driehoeken gesneden worden. Hierbij wordt het aantal der ribben 

 teruggevonden als de helft van het gezamenlijk aantal der zijden 



