( 632 ) 



diagonaal AB van den in de ruimte x x = i gelegen grenskubus is 

 een omwentelingsas met de periode drie voor dien kubus, dus is het 

 vlak door AB en AB' een „omwentelingsvlak" met de periode drie 

 voor de achtcel. Wijl nu de zich bewegende snijruimte loodrecht 

 blijft op de in dit vlak gelegen lijn OC — zie de eerste der 20 

 figuren — , moet de lijn van doorsnee van dit vlak met de snijruimte, 

 welke lijn dan natuurlijk loodrecht op OC staat, voor de doorsnee 

 een as met de periode drie zijn. Zoo als boven reeds gevonden werd, 

 staat nu werkelijk de lijn OB loodrecht op OC en is de verkregen 

 as dus evenwijdig aan OB. Omdat het vlak door AB en B' de 

 loodlijnen OC en OR uit O op de snijruimte en de ruimte X x = 1 

 van den rechtschen kubus bevat, moet elke lijn ervan en dus ook 

 OB loodrecht staan op het vlak door de snijruimte in de ruimte 

 X 1 = 1 bepaald ; dus wordt, als men de snijruimte in tegengestelden 



6 5 1 



zin beweegt en van — over — ■, enz. naar - — terugkeert, het rhom- 

 12 ±2 12 



boëder, dat de centrale doorsnee vormt en zich dan in de richting 

 van de ribbe B' A door de achtcel beweegt, door het in de ruimte 

 van den rechtschen kubus bepaalde vlak loodrecht op de as afgeknot. 

 Trouwens, in de boven aangehaalde verhandeling (deel IX ; n°. 7) is ge- 

 vonden, dat de doorsnee steeds een rhomboëder of een afgeknot 

 rhomboëder is, als de snijruimte loodrecht staat op een vlak door 

 twee overstaande ribben, wat hier het geval is, daar het vlak door 

 AB en B' de ribbe AB' en de tegenoverliggende ribbe bevat. 



71 



We duiden nu het aan het breuksymbool — beantwoordende 



J 12 



lichaam door D r aan, waarbij de n dan een der waarden 1,2, ...,11, 12 

 aannemen kan en D n en Z) 12—71 de twee tegengesteld georiënteerde 

 standen van een zelfde lichaam voorstellen, om dan verder te onder- 

 zoeken, welke dier deelen bij een snijding van het net (C 8 ) door de 

 centrale ruimte 3x 1 -\-x 2 -\-.i\-\-x 4 =0 optreden. Uit de afstanden der 

 punten met de coördinaten (2 ai), die het middelpuntenstelsel van het 

 net vormen, volgt onmiddellijk, dat de deelen D 2 , D 4 , D 6 , D 8 , D l0 

 gezamenlijk verschijnen en de overeenkomstige driedimensionale 

 ruimtevulling dus uit drie — en als men op de oriëntatie let zelfs uit vijf — 

 verschillende grondvormen bestaat. Nu is, zoo als we weten, de vorm 

 Z) 6 alleen reeds in staat de ruimte te vullen en zijn dit dus ook zoowel 

 de vormen _D 2 en D s als de vormen D 4 en D 10 samen. Wat meer zegt, 

 uit de voorwaarde, dat in de verkregen ruimtevulling met de drie 

 of vijf verschillende grondvormen het zijvlak van een dier vormen 

 zich in zijvlakken der omringende vormen voortzetten moet, volgt 

 onmiddellijk, dat naast elke D 2 een aanvullende D 8 , naast elke D 4 



