(634 ) 



5. Het geval (2, 1, 1, 0). — ■ Bij de behandeling van het geval 

 (1, 1, 1, 0) hebben we gezien, dat het optreden der nul in het 

 symbool prisma's met de standvastige hoogte 2 doet vinden, waardoor 

 het vierdimensionale vraagstuk zich tot een driedimensionaal vraag- 

 stuk herleidt. Zoo komen we hier dan te staan voor de beschouwing 

 van de doorsnee (2, 1, 1) van het net van kuben, wat in allerlei 

 opzicht voor de driedimensionale ruimte het analogon vormt van die 

 der doornee (3, 1, 1, 1) in R 4 . 



Stellen we ons voor, dat de ruimte, waarin het geval (2, 1, 1) zich 

 afspeelt, den bovenkubns der achtcel bevat en het hoekpunt P — 

 zie de eerste der 20 figuren - tot oorsprong van een rechthoekig 

 coördinatenstelsel met de door dit punt gaande ribben tot assen, de 

 ribbe PQ tot met het cijfer 2 van (2, 1, 1) overeenkomende as wordt 

 aangenomen, dan is het middelpunt F' van het bovenvlak l ) van 

 dien kubus het punt (2, 1, 1) en PF' dus de as loodrecht op de 

 reeks der snijvlakken. Nu volgt uit den rechthoek APQE met de 

 zijden AE=% AP=2\Z2, dat AQ loodrecht staat op PF' en de 

 punten A en Q zich op PF' dus in hetzelfde punt projecteeren. Dus 

 vindt men de projectie der acht hoekpunten van den beschouwden 

 kubus op PF' door de projecties (1, 2, 1) van de zijvlakken met 

 PA en QE tot diagonalen zoo naast elkaar te plaatsen, dat de laatste 

 1 van de eerste met de eerste 1 van de laatste samenvalt, waardoor 

 de stratificatie 1, 2. 2, 2, 1 verkregen wordt, die door verdubbeling 

 met het oog op boven- en grondkubus in 2, 4, 4, 4, 2 overgaat. 

 Hieruit volgt dan het op de eerste plaat opgegevene. Zet men nu — 

 tot de tweede plaat terugkeerende — op de drie door P gaande 

 ribben van den kubus in de aangenomen onderstelling, dat PQ met 



1 



de 2 van (2, 1, 1) overeenstemt, van P af stukken — , 1, 1 uit, dan 



z 



ontstaat — zie de laatste figuur — de driehoek P X P^P Z , die het 



bovenvlak vormt van het met de breuk — overeenkomende driezij- 



8 



2 3 4 



dige prisma, en hieruit ontwikkelen zich dan de doorsneden — , -, — 



8 8 8 



geheel als boven werd opgegeven. Yan driehoek P X P^P Z is de lijn, 

 die P, met het midden van P^P % verbindt, een as met de periode 

 twee, of, om dit eenvoudiger uit te drukken, een lijn van symmetrie, en 

 deze lijn is evenwijdig aan de diagonaal AQ van de eerste figuur. 

 In eiken stand van het snijvlak heeft de figuur van doorsnee de 



3 ) Eigenlijk is het onjuist bij den bovenkubus van een bovenvlak te spreken; 

 natuurlijk wordt hier bedoeld het vlak dat voor ons oog in de teekening als 

 bovenvlak verschijnt. 



