('872 ) 



dubbelpunt geprojecteerd worden door een stralenstelsel in verwant- 

 schap [2], en de bovengenoemde zes raaklijnen zonden zes ver- 

 takkingsstralen leveren, terwijl een [2] er slechts vier kan hebben. 



2. Wij beschouwen nu de fundamentale involutie van punten paren, 

 F 2 , op een ruimtekromme Q n van het geslacht twee. Zij kan inge- 

 sneden worden door een bundel kegels van den graad (n — 3). Immers 

 door een willekeurig punt F gaan \{n — 1) (n — 2) — 2 bisecanten der 

 Q n , en de kegels van den graad {n — 3) door deze h (n — 3) n— 1 

 rechten snijden q u nog in twee veranderlijke punten. 



Deze F 2 rangschikt de vlakken door de willekeurige rechte a in 

 een verwantschap [n~\. Wordt a gesneden door een bisecante b die 

 een paar der F 2 draagt, dan is het vlak ab een dubbele coïncidentie 

 der \n\, want het is toegevoegd aan (n — 2) vlakken, waarmee het 

 niet samenvalt. Daarentegen bepaalt elke coïncidentie der F 2 een 

 enkelvoudige coïncidentie van [nj. Het aantal dubbele coïncidenties 

 bedraagt dus \(2n — 6)==n— 3, zoodat a door (n — 3) bisecanten b 

 wordt gesneden. D. w. z. : 



De rechten welke de paren der fundamentale involutie dragen, 

 vormen een regelvlak uan den graad (n — 3). 



Om het geslacht te bepalen van dit regel vlak (p n ~ 3 maken we 

 gebruik van een bekende formule van Zeuthen. Wanneer tussehen 

 de punten van twee krommen c en c' een zoodanige betrekking 

 bestaat, dat met een punt F van c overeenkomen x' punten F van 

 c' en met een punt F overeenkomen k punten F, terwijl het y maal 

 geschiedt dat twee punten F en y maal dat twee punten F samen- 

 vallen, dan zijn de geslachten p en p' der krommen met de reeds 

 genoemde getallen verbonden door de vergelijking 1 ) 



2K'(p-l)~2x(p'-l) = y-y'. 



Worden nu de punten P en P* van een paar der F 2 toegevoegd 

 aan den doorgang F' van hun verbindingslijn met een vast vlak, 

 dan is p = 2, x'=.l, ^ = 2, y' = 0, y = 6, dus 2—4(^—1; = 6 

 en p' = 0. 



Het regel vlak (p n ~ 3 is derhalve van het geslacht nul, en bezit 

 daarom een dubbelkromme van den graad \ Cn — 4) (n — 5). 



3. Voor een q'° is dit involutieregelvlak quadratisch, dus een 

 hyperboloïde of een kegel. 



In het eerste geval bestaat een der regelscharen uit triseeanten, 



^ Zie Zeuthen, Math. Ann. III, 150. Een eenvoudig bewijs is door Kluyver 

 gegeven (N. Archief v. W. XVII, 16). 



