( 873 ) 



de andere uit de bisecanten welke de paren der F 2 dragen. De 

 steunpunten der trisecanten zijn dan gerangschikt in de drietallen van 

 een involutie, die evenzeer fundamentaal (d. w. z. met de kromme 

 gegeven) is. Dat de laatste acht coïncidenties heeft, blijkt gemakkelijk 

 uit de verwantschap (2,3) tusschen de beide regelscharen. 



Door centrale projectie vindt men een quadrinodale vlakke 

 kromme c\ waarop F 2 wordt ingesneden door de kegelsneden welke 

 de vier dubbelpunten bevatten, terwijl de verbindingslijnen der 

 paren een kegelsnede omhullen, en tevens de groepen van een funda- 

 mentale P dragen 1 ). 



Is het involutieregelvlak der F 2 een quadratïsche kegel, dan liggen 

 elke twee paren der F 2 in een vlak door den top, die tevens een 

 punt der q* is» Deze bijzondere q 5 is blijkbaar de doorsnede van een 

 kubisch oppervlak en een quadratisch kegel vlak, welke een rechte 

 gemeen hebben 2 ). 



4. Wij beschouwen nu een q' ] van het geslacht twee. Het invo- 

 lutieregelvlak der F 2 is thans van den derden graad ($'). Zij q de 

 dubbelrechte, e de enkelvoudige richtlijn van 0*. Daar q" op <P" ligt, 

 en een vlak door q nog slechts één rechte van $ 5 bevat, welke rechte 

 een paar der F 2 draagt, heeft q vier punten met $ 6 gemeen, is dus 

 een quadrisecante . De fundamentale involutie wordt derhalve inge- 

 sneden door den vlakkenbundel, die de quadrisecante tot as heeft. 

 Hieruit blijkt tevens dat q* geen tweede quadrisecante kan hebben. 



Elk vlak door e draagt twee paren der F 2 ; dus is e een koorde 

 van q g , en worden de paren der F 2 paarsgewijs tot de groepen van 

 een bijzondere I 4 vereenigd. 



De vlakken, welke e verbinden met de beide torsale rechten van 

 $ : \ zijn blijkbaar dubbelraakvlakken van q\ Op e rusten dus, behalve 

 de raaklijnen in de 6 coïncidenties der F 2 , nog de 4 in die dubbel- 

 raakvlakken gelegen raaklijnen en de, dubbel te tellen, raaklijnen in 

 de steunpunten der koorde e. Het raaklijnen-oppervlak van q" is 

 derhalve van den graad 14. Dit blijkt trouwens ook hieruit dat de 

 quadrisecante, behalve door de raaklijnen in haar steunpunten, slechts 

 door de 6 raaklijnen der coïncidenties wordt gesneden. 



1 ) Een aantal eigenschappen der c 5 vindt men in mijn verhandeling „Ueber 

 Curven fünfter Ordnung mit vier Doppelpunkten" (Sitz. Ber. Akad. Wien, 1895, 

 GIV, 46—59). De krommen p 5 en c 5 behandelt H. E. Timerding „Ueber eine Raum- 

 curve fünfter Ordnung" (Journal f. d. r. u. a. Math. 1901, GXXIII, 284—311). 



2 ) De centrale projectie dezer f h is behandeld in mijn boven aangehaald opstel, 

 bl. 53. Zij ontstaat bij de projectieve toevoeging van de stralen van een waaier 

 aan de paren van een uit de kegelsneden van een bundel gevormde involutie. 



59* 



