Analyse mathématique. — „Sur une propriété des fonctions de 

 variabk complexe". Note de M. Arnaüd Denjoy. (Présenté par 

 Mrs. W. Kapteyn et L. E. J. Brouwer;. 



Je me propose de démontrer Ie théorème suivant: 



Si une fonction analytique F{x) et sa dérivée F\x) sont rêgulïeres 



et non nulles en tont point d'un contour simple C, a 1'intérieur du- 



quel F(x) peut se mettre sous la forme : 



F(e)='(a— a,yi .... (x-a n p G (»), (1) 



les cij éfant intérieurs k C, G étant reguliere et non nidle dans C, et 

 les dj, ctj étant indépendants de x, si l' 'argument de F \x)varie dans 

 un sens constant quand x décrit Ie contour C, 1°. F'(x) possede 

 a 1'intérieur de C, (n — 1) ze'ros distincts ou confondus différents 

 des aj 2°. toute courbe d'équation Arg F(x) = cte penetrant dans C, 

 aboutit en l'un des points aj ou passé en Vun des zéros propres a F'. 



En effet, soit r(x) une déterraination de log G{x). r(x) est par 

 hypothese holomorphe dans C et sur C. 



On a: 



F'(x) «, a„ Ie - V{x) 



* ■=— 1 —+ . . . . + + r'(x) = 



F (x) x — aj x — a„ (x — aj . . . (x — a n ) 



D'après son expression, V e6t holomorphe dans et sur C, et V 

 ne s'annule en aucun point aj. En outre, par hypothese, V ne 

 s'annule pas non plus sur C. A 1'intérieur de C, les zéros de F'(x) 

 distincts des aj coïncident donc avec les zéros de V. Nous voulons 

 montrer que V possède a 1'intérieur de C, (n — 1) zéros distincts ou 

 eonfondus. Or, 



F' (x) d 

 t (x) ax 



F et F' étant réguliers et différents de zéro sur C, Ie second 

 membre est, en tout point de C, une fonction continue de x, de 

 méme que les logarithmes et a fortiori les arguments de F et de /•' . 



Supposons que C ait, en chacun de ses points, une tangente bilaterale 

 unique, variant continument. Soit a 1'angle avec Ox de oette tangente 

 dirigée dans Ie sens positif de parcours de C. Soit .< l'arc de C 

 compris entre une origine choisie» sur C, et Ie point variable x. On a 



