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F' (x) dhg\F\ d Arg F 



e' * == ! \- i . 



F (x) ds ds 



ia F' 

 Donc, la parlie imaginaire de e — garde un signe constant dans 



r 



ia F' 

 Ie mouvement de x sur C. Donc la variation totale de Arg. e — 



F 



est nulle. Or, C étant un contour simple, parcouru dans Ie sens 



V 



direct, a augmente de 2?r. Donc, Arg. diminue de 



(x — aj . . . (x — a n ) 



2jt. Les üj étant intérieurs a C, Arg. V augmente donc de 2(n — l)n. 



Donc, V&{n — 1) zéros distincts ou confondus a 1'intérieur de C. 



Supposons maintenant que C ne possède pas en chaque point une 

 tangente déterminée. Soit 2d, la plus courte distance a Cdes points 

 S qui sont, soit des zéros, soit des singularités de F ou de F'. d x 

 est positif puisqne aucun de ces points n'est sur C. Soit' 2d 2 la 

 distance minimum de deux points de C entre lesquels la variation 

 de Arg. F[x) est egale en vaieur absolue a un multiple entier de 

 2:r. Soit ó Ie plus petit des deux nombres ö 1 et tf,. En un point 

 quelconque x^ de C, menons 1'arc de courbe g{x^) d'équation : 



Arg. F (x) ■= Arg. F(x x ), 

 limité de part et d'autre de x\ a la longueur 6. Puisque F est 

 régulier et non nul sur C, pour chaque point de C, 1'arc g^i\) est 

 déterminé. Comme F' ne s'annule pas sur ce même are, celui-ci ne 

 possède que des points simples. 



Deux ares g(x x ), g(x^) sont entièrement distincts. En effet, les deux 



ares glxj, g(x,) correspondent a des arguments de F différents, 



puisque Arg. F varie dans un sens constant sur C. Cela étant, ou 



1 F(x ) 

 bien — Arg. — = 6 % — -O x n'est pas un nombre entier, et alors, 



les deux ares ne pourraient se rencontrer qu'en un point oü F est 

 irregulier ou nul. circonstance impossible, puisque, leur demi-longueur 

 étant 6<ó x , aucun ne contient de points de cette sorte. Ou bien 

 ^,—0, est un entier non nul, et les deux ares g(x\) et g(xj n'ont 

 pas de points communs, d'après d^tfj. Si e lt e, sont les extrémités 

 de g{x x ) respectivement intérieure et extérieure a C, e x et 6, décrivent 

 chacun une courbe sans point multiple, 1'une r, intérieure a C, 

 1'autre r, contenant C a son intérieur. Entre I\ et r,, on peut 

 déformer indifféremment C sans rencontrer de point £■ 



Or la condition que Arg. F{®) varie dans un sens constant équivaut 

 a celle-ci, que C coupe une fois et une seule chacun des ares g{x x ). 

 Donc, si Ie contour C présente des irrégularités, il est possible de 



