1065 



substituer a chaque point a 1 de C un point x\ de 1'arc correspon- 

 dant g(x A ) de facon que Ia courbe C' des points x\, qui coupe une 

 fois et une seule chaque are g{x x ), soit continue et admette en tout 

 point une tangente unique variant continüment. C' contient a son 

 intérieur les mèmes points £ que C. Or, la première partie du 

 théorème est vraie pour C'. Donc elle 1'est aussi pour C. Elle est 

 donc générale. 



Conservant tout'es les autres hypotheses de 1'énoncé, supposons 

 simplement que Arg F{x) ne possede pas sur C les deux sens de 

 variation. Sur certains ares co de C, Arg F(x) pourra être constant. 

 Sur un tel are co, log \F\ est continu et varie dans un sens con- 

 stant, puisque ni F ni F' ne s'annulent sur co. Quand x décrit co, Ie 



ia F' , 



point figuratif de « = « — parcourt sur 1 axe reel un segment 



F 



dont les deux extrémités sont d'un même coté de 1'origine. Si la 

 tangente a C varie continüment, comme Ie point u n'a pas de 

 positions de part et d'autre de 1'axe réel, la variation de Arg u sur 

 Ie contour décrit par x est encore nulle. La première partie du 

 théorème subsiste. 



Si, en dehors ou aux extrémités des ares co, C était, en certains 

 points, dépourvu de tangente, on introdnirait les ares g{x\) relatifs 

 a tous les points de C, sauf aux points intérieurs aux ares co. 

 L'ensemble des g(x\) formerait des régions auxquelles toutes les 

 parties de C étrangères aux ares co seraient intérieures, et ou 1'on 

 pourrait déformer C saus lui faire traverser de zéros ni de singu- 

 larités de F ni de F', de facon a lui donner une tangente continue 

 en conservant les conditions du théorème. Celui-ci, vrai pour Ie 

 nouveau contour, 1'est aussi pour C. 



La première partie dn théorème et cette dernière extension étant 

 établies en toute généralité, démontrons la seconde partie. 



Si une courbe g d'équation Arg F(x) = cte avait dans C un 

 certain point y, et si, prolongée dans les deux sens a partie de y, 

 elle ne rencontrait pas de point £, elle aboutirait des deux parts a 

 C, en des points respectifs <t et /?. Les deux ares de C séparés par 

 a et ft augmentés de 1'arc de g intérieur a C, formeraient deux 

 contours simples ne contenant pas de point S et sur aucun desquels 

 Arg F ne posséderait les deux sens de variation. Alors F possédant 

 q points a,j a 1'intérieur de 1'un de ces contours, et (n — q) ètTintérieur 

 de 1'autre, F' aurait a 1'intérieur de ces mèmes contours respeetive- 

 ment (q — 1) et (w — q — 1) zéros (comptés chacun avec son ordre do 

 multiplicité), donc en tout (n— 2) zéros et non pas (n l). Le théo- 

 rème est donc entièrenient déniontré. 



