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La première partie appelle diverses observations. 



D'abord, la démonstration reposant simplement sur ceci 



.F' 

 que Ie point e la — ne tourne pas autour de 1'origine, il suffirait pour 

 F 



1'exactitude de la premiere partie du théorèrae, que Ie sens de varia- 

 tion de Arg F sur C fut Ie même, simplement chaque fois que Ie 

 module de F passé par un maximum ou par un minimum. 



Considérons Ie cas ou C contient un zéro régulier et simple de F' . On 

 suppose toujours F(<;) —\= 0, de facon que 1'argument de F ne soit 

 indéterminé en aucun point de O. Pour préciser Ie sens de la première 

 partie du théorème, il eonvient de savoir si £ doit ou non être 

 considéré comme intérieur a C. Nous examinerons pour celacomment 

 il eonvient de modifier un are de C contenant £ et indifférement 

 petit, de facon que Ie sens de variation de Arg F sur Ie nouvel 

 are ne soit ni doublé, ni différent de celui de C. La ligne 

 Arg F= Arg F(g) possède en 'é un point doublé a tangentes rectan- 

 gulaires. Les deux branches y^ et y 2 de cette courbe délimitent quatre 

 angles eurvilignes de sommet S. Une ligne Arg F= Arg F($) -j- e 

 se compose, si e est assez petit, de deux ares distincts, intérieurs 

 respectivement a deux angles, opposés par Ie sommet, formés par 

 7i ef 7s Bt disposes relativement a y, et a y 3 comme Ie sont par 

 rapport a leurs asymptotes les deux branches d'une hyperbole équilatère. 

 Suivant Ie signe de e, les ares sont dans 1'un ou dans 1'autre des 

 deux couples d'angles ainsi places. Numérotons par exemple 1 et 3 

 ceux qui correspondent a e ]>0, 2 et 4 les deux autres. Supposons 

 que y 1 désigne la branche séparant les angles 1 et 2 d'une part, 



3 et 4 d'autre part. y 2 sépare d'une part 1 et 4, d'autre part 2 et 3. 

 Arg F croit, quand on traverse soit y t en passant de 2 a 1 ou de 



4 a 3, soit y 3 en passant de 4 a 1 ou de 2 a 3. 



C ne peut pas pénêtrer dans deux angles opposés. C traverse une 

 des deux branches y x et y J; et une seule. Si donc C ne contient 

 pas un are de 1'autre branche, il est entièrement situé (sauf en §) 

 d'un même cötó de cette dernière. On peut, aux abords de §, déplacer 

 C de ce même cóté sans changer Ie sens de variation de Arg F. 

 § doit donc être considéré comme situé du même cóté de C que la 

 branche y 1 ou y, non traversée. 



Si C n'est pas tangent a la branche non traversée, il ne peut pas 

 présenter une tangente unique en S. Donc, si C possède un point 

 anguleux en §, § doit être regarde comme situé du cóté de C opposé 

 a l' intérieur de Vangle (ouvert de moins de n) formé par les deux 

 ares de C séparés par §. 



Si C, traversant y u contient un are y' s compris dans y 3 , C quitte 



