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Si ces deux angles ne sont pas adjacents, q couples d'angles 6 

 sont du cöté intérieur de C, p — q du cóté opposé. F' doit étre 

 considére dans 1'application du théorème -comme possédant q zéros 

 intérieurs a C et confondus avec |. On Ie montre en adjoignant a Cles 

 arcs Arg. F = Arg. F (») issus de t et intérieurs a C. 



Application. Si une fonction F (•»:) a son module constant sur un 

 contour simple C oh elle est reguliere et oh sa dérivée F " ne s 'annule 

 pas, si de plus F est, a V intérieur de C, de laforme(l),F's'annule 

 in — 1) fois a Vintérieur de C en des points distincts des zéros ou 

 injinis de F'. 



Car Ie sens de variation de Arg. F sur C est constant, sinon. en 



dlog\F\ 



un poinl oü il se modificrait, F s'annulerait, puisque est 



d x 



toujours nul quand x décrit C. 



Si C passé en un zéro simple § de F', les considérations antérieures 

 permettent de définir les conventions sous lesquelles Ie thebreme 

 subsiste. La ligne \F(.c)\ = |^(s)| possède deux branches & et /? 3 

 se croisant en §. Arg. F possède en § un maximum sur 1'une des 

 branches, un minimum sur 1'autre. Donc, pour que, sur Ie contour C, 

 Arg. F(.v) varie en sens constant, il faut qu' a la demi-branche /? t 

 ou ^ par oü C arrive en §, succèdent 1'une ou 1'autre des deux 

 demi-branches ft t ou & orthogonales a la première. § devra être 

 regarde comme extérieur a 1'angle droit dont il est Ie sommet et 

 dout les deux demi-branches considérées forment les cötés. 



On peut aussi arrondir C au voisinage de 5, par une modification 

 intiniment petite. de facon que la tangente tourne dans un sens 



constant d'environ ±— . £ reste en-dehors de la convexité de eet 



2 



are. La variation de Arg. F sur Ie contour C ainsi tracé, possède 

 un sens constant. C est un contour simple, auquel Ie théorème 

 fondamental s'applique. 



Si § est un zéro multiple d'ordre p de F', les deux arcs de C 



aboutissant en '£, font un angle geometrique K , K étant en tier' 



p + 1 



et au plus égal a p-\-\. Pour que Arg. F varie en sens constant 



sur 



C, il fant que K soit impair. Si K=2K'-\-l, (k'<-\ 



Ie théorème est vrai, a la condition de considérer F' comme possédant 

 en §, K' zéi*os intérieurs a 1'angle curviligne formé par les deux 

 arcs de C se réunissant en 5. On s'en assurera encore en ajoutant 

 a C toutes les branches de la courbe \F\ = \F(§)\ issues de § et 

 intérieures a ce même angle. 



