1106 



De komponenten van den fundamenteelen tensor worden dan 

 getransformeerd volgens de formules 



tv 2 = w" 1 , g,- t = — lp iv 2 , a" = u" — ip 2 iv 2 , p 2 = p 2 . 

 Deze formules geven allereerst 



u 2 w 2 p* = (u- iv- -j- g r i 2 )p*- 



Deze vergelijking tooiit aan dat de determinant g van de kompo- 

 nenten Qpj niet veranderd wordt door onze transformatie van den 

 tijdkoördinaat. Men heeft nl. 



u 2 tv 2 p 4 = — g , {u* w 2 -f- g r 4*)p 4 = — g, • . . (48) 



waarin g en g genoemden determinant voor het rechthoekige koördi- 

 natenstelsel aangeven (dat door middel van de formules (23) samen- 

 hangt met het poolkoördinatenstelsel) voor en na de transformatie 

 van den tijdkoördinaat. Dat de beide leden de genoemde beteekenis 

 hebben, ziet men het eenvoudigste in door beschouwing van een punt 

 op een der koördinaatassen. 



Wij zullen nu de formules (41) transformeeren. In het oorspron- 

 kelijke vierdimensionale koördinatenstelsel luidt deze na een een- 

 voudige omzetting 



d r 2 ü 4 w iv 

 r 2 x W= 2 — r . 



dr v_r g 



Wij zullen bewijzen, dat het linkerlid invariant blijft bij het 

 transformeeren van den tijdkoördinaat. Daar ook het reehterlid invariant 

 blijft, geldt de formule in dezen vorm ook in het nieuwe vier- 

 dimensionale koördinatenstelsel. Volgens (40) heeft men voor elk 

 koördinatenstelsel 



V= 2'V — Sï/- 



Daar S een gemengde volumetensor is, wordt S 4 4 getransformeerd 

 volgens deze formule: 



_ V — q ^dx, d x x _ 



t'-zr^^irir ** (49 > 



Beschouwen wij een punt op de X^as, dan is dx l = dr. Bij onze 



• ii i ö# a 



transformatie van den tijdkoördinaat is dan van alle - — alleen 



dw 4 



d# 4 . ö.c 4 d.v d.v. 



- — = 1 niet nul, van alle -^ zijn alleen -^ = 1 en -~ = xp 



vv* dxp d.r 4 dx l 



niet nul. Daar verder g = g krijgen wij dus 



*« 4 = V + +ï< 1 .. 



