IJ 43 



Analoog omhullen de nulstralen n, die een nulpunt N op de 

 rechte p hebben, een kromme (p) van de klasse (« -4- ;i), waarvan 

 p een /2-voudige raaklijn is. 



Door een punt S gaan (« -f- |3) raaklijnen van (p); hieruit blijkt, 

 dat de nulpunten op de stralen van den waaier S een kromme 

 (aS^ + z 3 vormen. Nu is S steeds een van de (3 nulpunten, zoodat een 

 willekeurige straal van den waaier buiten S slechts (pf — 1) punten 

 JV draagt. Bijgevolg heeft (AS) a + > s in S een (« —f- l)-voudig punt. 



Analoog vindt men, dat (*S S ) K + / 3 in S# een («-(-2)-voudig punt bezit. 



Verder vindt men, dat (,?)« + £ de rechte s tot (/?-}- l)-voudige 

 raaklijn heeft, terwijl een rechte % een (^ -j- 2)-voudige raaklijn 

 van de kromme (s%) x + ji is. 



3. De kromme (P) a + / 3 is van de klasse (a -\- |3) (« + P — 1) — 

 a (a — 1). Door F gaan dus nog (2«-f-$) (£ — 1) raaklijnen, die haar 

 elders aanraken. Hiertoe behooren blijkbaar de rechten PS%, omdat 

 S% twee samengevallen nulpunten vertegenwoordigt. Bijgevolg om- 

 hullen de nulstralen, die een dubbel nulpunt dragen, een kromme van 

 de klasse (2 « + ,i) ((i — 1) — %. 



De volledige omhullingstiguur omvat bovendien de o% klasse- 

 punten s%. 



De mogelijkheid bestaat natuurlijk, dat de omhulde kromme uit- 

 eenvalt. Dit geschiedt b.v. bij het nulstelsel, dat ontstaat als men 

 aan elke raaklijn van een bundel (c") de (n — 2) punten toevoegt, 

 waarin ze de c n nog snijdt (satellietpunten van het raakpunt). 



Men heeft dan te onderscheiden tusschen de omhulde der stationaire 

 raaklijnen, die ieder een dubbel nulpunt dragen, en de omhulde der 

 dubbelraaklijnen, die ieder twee dubbele nulpunten bevatten. De 

 kromme (P) is thans de z.g. satellietkromme 1 ). 



Op overeenkomstige wijs vindt men : De meetkundige plaats der 

 punten JSf, waarvoor twee der nulstralen n zijn samengevallen, is een 

 kromme van den graad («-J-2/J) (« — 1) — o%. 



4. De krommen {p)y.+3 en (q) a +p hebben de a nulstralen van het 

 punt- pq gemeen. Tot de overige gemeenschappelijke raaklijnen 

 behooren blijkbaar de singuliere stralen .s- en s%*). Er zijn dus 



') Zie mijn mededeeling „Over lineaire stelsels van algebraïsche vlakke' krommen" 

 (Verslagen, deel XIII, bl. 749) of n Faisceaux de courbes ptanes"(Archives Teyler, 

 série II, t. XI, p. 101). 



2 ) Als fi = 1 is, hebben (p) en (q) behalve de a nulstralen van pg slechts 

 singuliere stralen gemeen; dan is dus ff+'ö* = «'+a !- 1. De raaklijnen on raak- 

 punten van een schaar leveren hiervoor een voorbeeld. 



