1145 



raaklijn der omhulde (/?), £? gemeenschappelijke raak lijn en vervangt, 

 zijn dus aan p toegevoegd (2« -f~ $ stralen n. De verwantschap 

 tusschen p en n heeft 2(« -f /3) coïncidenties; op </' liggen dus 

 2(« -|- /?) punten iV, waarvan een der stralen ?* aan (p z raakt. Anders 

 gezegd • SR* (« -f- &, p) heeft 2(« -f~ /3) singuliere stralen meer dan 5ï(«,/3). 

 Bij de duale transformatie gaat Sft («,/?) over in een ft* («,a -f /?), 

 welke 2 (« -f- /?) singuliere punten meer dan ft bezit. 



6. De harmonische transformatie kan als volgt door een meer 

 algemeene vervorming worden vervangen. 



De poolkromme n van een punt N t. o. v. een gegeven kromme 

 <pm + i snijdt den nulstraal n in m punten N*, die wij als nieuwe 

 nulpunten van n zullen beschouwen. In het nieuwe nulstelsel SR* 

 heeft elke rechte dan ???./? nulpunten N*. 



Daar N* op de poolkromme n m van N ligt, behoort N tot de 

 poolrechte p van N* t. o. v. <P m + 1 . Nu gaan (a-j-/?) raaklijn en dei- 

 kromme (/>) door jV~*; zij zijn de nulstralen van N* voor SR*. 

 D. w. z. SR f«, |?) wordt door de nieuwe transformatie omgezet in een 



ft* l« + ft m/ï). 



In tegenstelling met de harmonische transformatie levert deze 

 vervorming ^geri nieuwe singuliere rechten. 



7. Stelt men « = 1, — 1, m — 2, dan vindt uit een bilineair 

 nulstelsel een SR*(2, 2) waarvoor de drie singuliere rechten van 

 SR(J,1) eveneens singulier zijn. 



Wij kunnen het bilineaire nulstelsel aanwijzen door 



y i : 5 3 § 2 = y, : g, g, = .V, : — 2 g, §, 

 en de kromme <2> 3 door 



V + *, 1 + »•' -^ 3 *, *, ^ = Ö. 

 De poolkromme van (?/) is dan voorgesteld door 



.v, (*' + *, *,) + y 3 (■'•.* 4- *, «,) 4- ^/, (*] + «i »,) = o. 

 Voor het nulstelsel ft (2, 2) is dus 



§i §■ K s +■ *i *») + §i § 8 (*," + *i *i) — 2 §i g. (*»'+ *'i *«) = ° 

 §i *i + g, *« + g, », = 



Om de vergelijking der kromme (7 J ) 4 te vinden hebben wij deze 

 twee vergelijkingen te combineeren met 



Pi gi + Pa g a + P s $* = 0. 



Eliminatie van £& levert dan voor (/*)'' 



(Pl*J ~ l»»«l) (P,*l — Pi*,) (*,' + *,*,) I (/',.'-, - P,*,) (/',■'•, P X *,) 



(O 



