Wiskunde. — De Heer Jan de Vries biedt een mededeeling aan 

 over: "Kubische involuties van de eerste klasse". 



1. Onder klasse van een involutie in het platte vlak worde ver- 

 staan het aantal paren van punten op een willekeurig aangenomen 

 rechte. In een mededeeling, opgenomen in deel XXII l ) heb ik aan- 

 getoond, dat de kubische involuties van de eerste klasse tot zes hoofd- 

 soorten zijn terug te brengen, mits ondersteld wordt, dat er geen 

 col lineaire drietallen zijn. 



Thans wil ik aantoonen, dat deze involuties, met een enkele uit- 

 zondering, door netten van kubische krommen kunnen worden bepaald. 



Zij gegeven een net [c 3 ] met zes basispunten C\- Alle c\ die nog 

 door een punt X gaan, vormen een bundel (c 3 ), hebben dus nog 

 twee punten, X' en X", gemeen, welke met X een groep van een 

 involutie 7 3 vormen. Op een willekeurige rechte bepaalt [c 3 ] een 

 kubische involutie /%, van den tweeden rang; het neutrale paar 

 bestaat uit twee basispunten X, X ' ; dus is I z een involutie van de 

 eerste klasse 2 ). 



Tot [c 3 ] behoort de y 3 &, welke in Cj c een dubbelpunt heeft. Kiest 

 men X op deze nodale y s k, dan komt een der punten X' , X" in 

 Ck\ dus is Ch een singulier punt, dat groepen der / 3 vormt met de 

 paren van een / 2 , gelegen op de singuliere kromme y 3 / c . Elk der 

 beide in C\ gelegen punten van y 3 ^ behoort tot een paar der /, ; 

 hieruit volgt, dat de paren dezer / s gelegen zijn op de raaklijnen 

 van een kegelsnede (involutiekromme der 7 2 ). 



Tot [c 3 ] behoort ook de figuur gevormd door de kegelsnede 7%, 

 welke de punten C l ,C 2 ,C\,C i ,C b bevat, en een zekere rechte c„, 

 waarop C 9 ligt. Daar [c 3 ] op c 6 de paren X,X' van een 7, bepaalt, 

 is c 6 een singidiere rechte. 



De involutie /, heeft dus zes singidiere punten en zes singuliere 

 rechten. 



De punten X", welke de paren der op c 6 gelegen ƒ, tot drietallen 

 der i, aanvullen, liggen blijkbaar op y 2 6 . Zij Y" de projectie van 

 X" op c„, uit een vast punt van y 2 6 ; tusschen Y" en X bestaat 



1 ) „Kubische involuties in het vlak", Verslagen XXII, 872—884. 



2 ) Voegt men aan elk punt X de stralen XX', XX'' toe, dan ontstaat een nul- 

 stelsel 91 (2,2). 



