Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt een mededeeling aan van 

 den Heer Dr. B. P. Haai.meijer : „Over elementair oppervlakken 

 der derde orde". (Vierde mededeeling). 



(Mede aangeboden door den Heer Hendrik de Vries). 



Er is bewezen dat F" niet kan bestaan, wanneer geen enkele 

 vlakke doorsnede degenereert in drie rechten. We gaan nn aan- 

 toonen dat F* niet kan bestaan, wanneer dat oppervlak niet 3, 7, 15, 27 

 of oneindig veel "rechten bevat. 



Het volgende is gesplitst in twee paragrafen ; in de eerste worden 

 eenige hulpstellingen bewezen, terwijl in de tweede zal blijken dat er, 

 behalve de genoemde, geen andere aantallen rechten op F" mogelijk zijn. 



§ 1. Stelling 1: Bestaat een vlakke doorsnede van F" uit drie 

 rechten, tvelke een driehoek vormen, dan kan door geen der hoekpunten 

 een verdere rechte van F" gaan. 



Bewijs •. Stellen we het vlak voor door a, de lijnen door a„ a it a s en de 

 snijpunten door A x , A 3 en A s (A x zij het snijpunt van a 3 en a, enz.). 

 Kiezen we op a x een willekeurig punt B x (verschillend van A ü of A z ). 

 B x moet grenspunt zijn zoowel van puntreeksen van F 1 die boven 

 als ( van puntreeksen die beneden a liggen. Stel n.1. B x was slechts 

 grenspunt van puntreeksen van F 3 beneden a. Nemen we dan een 

 vlak ji door 5 P dat. niet lijn a x bevat en niet door A x gaat. Laat 

 $ lijn a 2 snijden in # a en a t in B s . De snijlijn van « en /? noemen 

 we h {b draagt de punten B x , B 2 en B t ). Laten we nu in fi een 

 rechte van boven evenwijdig tut b convergeeren. Het punt B x op 

 de limietlijn is volgens het onderstelde geen grenspunt van punten van 

 F" op de naderende lijnen en zal dus dubbel tellen als snijpunt 

 van b met de doorsnede in $. Bovendien draagt b echter nog de 

 punten B x en i? 3 -. een onmogelijkheid. 



Uit liet bovenstaande volgt dat in elk segment van een der lijnen 

 a x , a 3 en a t , dat geen der snijpunten bevat, de beide sectoren van 

 F 3 van verschillende zijden van « samenkomen. 



In a komen in ,4, vier takken samen, A s A x en CA 1 op « 3 en 

 A t A x en BA X op a, (tig. 1). Op grond van het voorgaande, in 

 verband met den eisch dat F s een tweedimensionaal continuüm 

 is, mogen we besluiten dat elke tak met de twee omliggende 

 samenhangt en wel beurtelings boven en beneden «. Zij A t A x beneden 



