1275 



a door I verbonden met BA X , BA X boven a door II met CA X , CA X 



Fig. 1. 



beneden u door III met A 2 A x en ten slotte A^ A 1 boven « door 

 IV met A t A x . 



Stel nu dat door A x nog een derde rechte L H van F* ging, welke 

 natuurlijk in geen geval in u kan liggen. Laat de halflijn A x H op 

 Il en A x L op I vertrekken. Beschouwen we het vlak $ door^ü 

 en ^4, B. Hierin ligt, behalve de lijn BH, nog een ovaal dat in de 

 eerste plaats door D gaat, maar ook door ^4, moet gaan, aangezien 

 in /i zeker nog een tak vanuit -4, moet vertrekken op IV. Laten 

 we /i een weinig om L //draaien, dan behoudt het deze eigenschap en 

 door het punt A 1 der rechte B //zouden dus in oneindig veel vlakken 

 door B H ovalen moeten gaan. Dit is echter in strijd met de resul- 

 taten der derde mededeeling (pag. 762, laatste alinea vóór stelling 2). 

 De eenige manier om aan een onmiddellijke contradictie te ontkomen, 

 is de aanname dat in elk der vlakken |i het ovaal gedegenereerd is. 

 Dit echter zou beteekenen dat F 3 oneindig veel rechten bevat, wat 

 we bij het opsporen der mogelijke eindige aantallen steeds uitsluiten. 



Stelling 2: Bevat F* een eindig aantal rechten, dan is dit aantal 

 steeds gelijk aan 3 plus een geheel aantal malen 4. Deze indeeling 

 is zóó te maken dat de lijnen der groep van 3 in één vlak liggen 

 terwijl elke groep van 4 één lijn der eerste groep snijdt. Bovendien 

 valt zulk een groep van 4 uiteen in twee groepen van 2 die elk [met 

 één der eerste 3 dus) in een vlak liggen. 



Alvorens tot het eigenlijke bewijs over te gaan bewijzen we een 

 paar hnlpstellingen. 



Zij a een rechte van F 1 . Steeds wordt stilzwijgend ondersteld 

 dat F" geen oneindig aantal rechten bevat, [n de derde mededeeling 



